Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
К1 = К1 (г, t) = к (Аг, t), Ті = АтГі (і = 1,2). (3.12)
3.3. Безразмерные координаты. Теперь проведем каноническое преобразование г, v -> R, V, задаваемое производящей функцией-
5>=ЗД+4-ітгіі<ІГ'‘г>- <3-13>'
Это преобразование имеет вид
;=|1|R, ^f^V+ilMR. (3.14>
Используя (3.13) и (3.14), определим
x, = ia + liLL?ii(Ri v) + 4-(iM)’|RP = 4_|ri|'i!UriJ|R|._
(3.15)
После преобразования (3.14) гамильтониан задачи запишется в: следующем виде:
Я2 = 2тЬ|У|2 + Т^(с/2 + с/і2+с/^+^ + ^ + ^2’ (ЗЛ6>
272
ДВИЖЕНИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 14
где
f/2 = _
U\ = — ki
Ri
і
R - Ri Г (і = 1,2),
(R, R4) IRJ3
(3.17)
(3.18)
(3.19)
K2 = if2(R, f) = if1 (І'іIR, *)¦
Нетрудно проверить, что
RI = (1, 0, 0). (3.20)
3.4. Относительная система координат. Следующим каноническим преобразованием введем подвижную систему координат. Пусть функция
¦у» = ((р+ &(*)), (R-n(0)) (3-21)
задает каноническое преобразование R, V q, р. В (3.21) | (t), і] (?) — пока неопределенные функции времени. Запишем преобразование R, V q, р в явном виде:
R = li(<) + q> v = 1(0 + р- (3-22)
Нетрудно вычислить
*: = 4М§ • ч)-(-эт-’ р) - <3-23>
После преобразования (3.22) гамильтониан задачи будет иметь
вид
ЯЗ = 2їЬі|р|Я + 'гаї(6, Р) + Т7Г|(С73 + С7? + С/23) + Яг + ^ +
+ Я33 + Я3. (3.24)
Здесь
U3 = -
ІЛ + ЧІ
Щ=—к1
1
(Ri> 1) ]
Ri I3 J
I Ri— л
K\=- (П, h, p]) - (П, [q, U) - (0, [q, p]), ^ = -5-|^І^(|Ч|‘ + 2(П, q)),
(*' = 1,2),
(3.25)
(3.26)
(3.27)
2 1 dt* ж3 = A:3(q, г) = Я2(Л + Ч, t).
Здесь и ниже мы опускаем в гамильтониане слагаемые, не зависящие от q, р, и условно сохраняем знак равенства.
3.5. Разложение функции Гамильтона. Теперь предположим, что q = 0, р = 0 является решением уравнений с гамильтониа-
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ВБЛИЗИ U
273
ном Я3. Это означает, что | и т| должны быть выбраны таким образом, чтобы разложение Я3 в ряд по q и р начиналось с квадратичных членов относительно компонент векторов q и р. В дальнейшем мы будем интересоваться движениями при достаточно малых I Ч |> IР |. Для получения явного представления Я3 проведем разложение составляющих Я3 в ряд по q и р. При этом будем использовать следующие формулы [18], справедливые для |Ь| <|а|:
1 1
I а — b 1 | а |
1 1
[а — Ь Is ' | а |=
П=0
(3-28)
п=0
Р-29>
где Рп (х) — полиномы Лежандра,
у м dPn+1 {х) г (а’ Ь) п+1 { х> dx ' Х- | a 11 ь I
Используя (3.28) и (3.29), получим О* =-[^,(4. (3.30)
П=2
/(а. Ш . — тгї
и
з , /(ч. (Ri —л)) (q. Ri)
Ri-ЛІ3 IR
к.
RT^rrI.(iW^rr)"f'*<2‘) <i-1'2)' (3'31)
n=2
где
(q, Л) (4. (R{ — Л))
1 q 11 л Г Zi — I q 11 R* — л I
(3.32)
Приравнивая в (3.24) нулю коэффициенты при линейных членах относительно компонент векторов q и р, получим систему дифференциальных уравнений, которой должны удовлетворять вектор-функции | (t) иг) (і):
-зг + Ш.п]—= (3.33)
% + [fi. {] + ч + тЫтчрч-*! (г|Ей—пй) -
-Ч||Ей-гё]»)]+“=о’ р-34*
<3'35>
VaK) А, П. Маркеев
274
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ L2
[ГЛ. 14
Если | (t) и т] (t) удовлетворяют уравнениям (3.33) и (3.34), то гамильтониан задачи можно записать в следующем виде:
3.6. Уравнения движения Луны. Рассмотрим теперь задачу о движении Луны. Она описывается гамильтонианом
где компоненты векторов rlt — канонически сопряженные переменные, К* — потенциал сил, которые действуют на Луну, помимо учтенных сил гравитационного взаимодействия Луны и Земли и возмущающих сил от Солнца.
Гамильтониан (3.42) мы можем формально получить из гамильтониана (3.1), если в (3.1) положим кг = 0 и заменим г на rl5 v на
vx, к на к + кг, а К на К*.
Если мы проведем последовательно все указанные выше канонические преобразования и положим її = Rlt | = Уц то | и і)
должны удовлетворять уравнениям (3.33) и (3.34), если в них
положить А:х = О, А: = А: -(- ки К3 = К*3. Таким образом, и V-l удовлетворяют следующей системе уравнений:
При получении уравнения (3.43) учтено, что, согласпо (3.20), dRx/dt = 0. Через а* в уравнении (3.44) обозначена вектор-функция (дК*3/дq)T, вычисленная при q = 0.
Я3 =
икр1 р I2 + ТТГІ {°3 + ^ + ^ + Kl + R\ + ^ (3-36)
где
оо
(3.37)
оо
(3.38)
величины z, zi определены равенствами (3.32), а
К\=- (О, [q, р]),
(3.39)
(3.40)
(3.41)
К3 = К3 - (a, q).
dV1 dt
f [Я
і]} + «* = 0- (3-44)
(3.43)
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ВБЛИЗИ Ь2
275
3.7. «Подвижная точка либрации». Имея в виду дальнейшее изучение движения вблизи точки либрации Z/2, преобразуем уравнения (3.33) и (3.34) при помощи замены переменных
т| = (1 Ч— р) Ri 4~ И) % — (1 4~ р) Vj. -f- о, (3.45)
где р — постоянная величина.
Замечание. Поясним представление (3.45). Если положить и = а = 0 и принять в качестве р величину [г — 1 + ?*, где ?* — корень уравнения
k*-W = 0’ (3-46)
а
'-р-ттгг (3-47)
то TJ = (1 -f р) Ri, | = (1 + р) Vi должно быть решением уравнений (3.33), (3.34) в случае эллиптической задачи трех тел, т. е. в случае, когда в этих уравнениях отброшены солнечные члены и члены, связанные с дополнительными возмущениями. Эти решения соответствуют коллинеарным точкам либрации. Из изложенного ниже формального анализа видно, что решение и = а ~ 0 будет иметь место и при частичном учете солнечных возмущений. (Это приближенное решение мы будем в дальнейшем называть «подвижной точкой либрации».) Тем самым в общем случае оказывается возможным определить решения уравнений (3.33), (3.34) при достаточно малых | и | и | <т |.
