Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
может служить дифракционной решеткой. Однако имеется одно существенное
отличие. При рассеянии рентгеновских лучей колебаниями решетки обмен
энергией между решеткой и излучением ничтожно мал, поскольку энергия
рентгеновских лучей значительно больше энергии колебаний решетки. В
противоположность этому энергия тепловых нейтронов того же порядка, что и
энергия колебаний. Поэтому, измеряя надлежащим образом энергию,
приобретенную или потерянную нейтронами при рассеянии, можно получить
ценную информацию о дисперсионных формулах для нормальных колебаний. В
случае кубических кристаллов можно получить также сведения о спектрах
собственных частот.
Поскольку исчерпывающий обзор теории взаимодействия тепловых нейтронов с
колебаниями решетки (в котором особое внимание было уделено применениям
этой теории к изучению динамики кристаллов) был недавно опубликован
[285], мы ограничимся в настоящем параграфе кратким изложением теории и
за более подробным рассмотрением отсылаем читателя к упомянутой статье
Котхари и Сингви.
Когда тепловые, или "холодные", нейтроны рассеиваются кристаллом, их
длины волн настолько велики, что рассеяние происходит сразу от большого
числа центров в решетке. Это вызывает интерференцию
330
Глава VII
рассеянных волн. Степень интерференции зависит от того, происходит ли
рассеяние на ядрах со спином и имеются ли в кристалле различные изотопы.
Наибольшая степень интерференции имеет место для изотопически однородного
кристалла, ядра которого имеют нулевой спин. Эта интерференционная часть
рассеяния называется когерентным рассеянием. Если кристалл содержит
случайно распределенные изотопические примеси или его ядра имеют отличный
от нуля спин, то различные центры рассеивают независимо, или
"некогерентно". Мы рассмотрим как когерентное, так и некогерентное
рассеяние нейтронов. В дальнейшем мы будем рассматривать только решетки
Браве с одним ядром в элементарной ячейке. Теория рассеяния решетками с
большим числом атомов в элементарной ячейке излагается в работе Валлера и
Фромена [320].
Когерентное рассеяние
Когерентное рассеяние нейтронов кристаллом может быть либо упругим, либо
неупругим. Упругие процессы подчиняются закону сохранения энергии
Л'2 = Л* (7.6.1а)
и закону Брэгга
к' -к = 2ят, (7.6.16)
который является следствием когерентности рассеяния. Через кик'
обозначены векторы распространения падающих и рассеянных
нейтронов, at - произвольный
вектор обратной решетки.
Более интересными с точки зрения динамики решетки являются неупругие
процессы, в которых рассеяние нейтрона сопровождается возникновением или
уничтожением одного или большего числа квантов (фононов) нормальных
колебаний кристалла. Мы увидим, что когерентное однофононное неупругое
рассеяние может быть использовано для определения закона дисперсии
колебаний кристалла. Если нейтрон рассеивается с уничтожением одного
фонона, то закон сохранения энергии
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 331
нейтрона и фонона требует выполнения следующего соотношения:
Е'~Е=ш № ~ *2)=Ы1 (ч)- (7-5-2>
Здесь m - масса нейтрона, q, / и (c)j(q) -соответственно волновой вектор,
номер ветви (для решетки Браве /=1, 2, 3) и частота нормального
колебания, к которому относится рассматриваемый фонон1). Далее, условие
интерференции волн, рассеянных различными центрами, приводит к
соотношению Брэгга
к' - к = 2ят + я. (7.5.3)
Фонону с волновым вектором (2ят+я) может быть приписан импульс Ъ (2ят+я).
Поэтому соотношение (7.5.3) можно рассматривать как закон сохранения
импульса. Если однофононное рассеяние отделить от многофонон-ного и от
некогерентной компоненты, то можно измерить энергию нейтронов и угол
рассеяния. Зная скорости падающих и рассеянных нейтронов, можно с помощью
(7.5.2) найти частоту фонона, участвующего в процессе рассеяния.
Импульс к' - к, переданный фонону, можно найти по углу рассеяния, а
волновой вектор фонона определяется по формуле (7.5.3). Таким образом, мы
получаем дисперсионную формулу
о = ш;(я).
Это рассмотрение, однако, осложняется тем, что каждому волновому вектору
q соответствуют три частоты, каждая из которых принадлежит одной из трех
ветвей колебательного спектра. Это означает, согласно (7.5.2), что для
заданного значения к любому направлению рассеяния должно соответствовать
три значения |к'|. В свою очередь, это приводит к тому, что распределение
нейтронов для любого направления рассеяния имеет острые пики,
соответствующие этим значениям |к'|.
Объединяя формулы (7.5.2.) и (7.5.3), можно записать законы сохранения
энергии и импульса (при погло-
') Волновой вектор q в выражении (7.5.2) равен волновому вектору фонона в
формуле (2.1,21), умноженному на 2я,
332
Глава VII
щении одного фонона) в следующей компактной форме:
к* -№ = ^-<й) (к' - к). (7.6.4)
Здесь мы использовали свойство периодичности функции (c)j(q)
(Я + 2ят) = a>j (q).
Для каждого значения / и заданного волнового вектора к падающих нейтронов
