Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
кубической симметрией. Всякая кубически симметричная квадратичная форма
изотропна. Поэтому величина [$'е(у)] должна быть пропор-
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 313
циональна S2. Следовательно, (7.3.11) можно переписать в виде
2^fivcth(PH(k)/2)
2W~3NMk* 2d ffli(k) • (7.d.U)
KJ
Сравнивая (7.3.12) и (7.2.22), мы видим, что первое выражение может быть
представлено в виде
= JgLsin20 "(/)), а = х, у, z. (7.3.13)
Чтобы получить выражение для интенсивности
(7.3.10) в форме, удобной для определения динамических свойств
кристаллической решетки, разложим вторую экспоненту в этой формуле в ряд
(Л=1/о12*-2иЧ/о + А+ ...], (7.3.14)
где
/о (у) = S ехр -х- S • [X (0 - X (/')], (7.3.15)
A(c)=^rSS[s-(;)]^(;)K(k)rx
и' к j
X cos 2як • [х (/) - х (/')1 ехр S • [х (/)-x(Ol) •
(7.3.16)
Суммирование по х(/) и х(/') в (7.3.15) может быть непосредственно
выполнено, если воспользоваться соотношением (2.3.4). В результате
получаем
'"(хН^Мх)- <7-зл7>
Функция /0(SA) известна как интерференционная функция Лауэ. Она имеет
острые максимумы, равные по величине N2 во всех точках, в которых S/К
совпадает с вектором трансляции обратной решетки, и равна нулю для всех
других значений S/K.
314
Глава Vll
Если мы запишем выражение для косинуса в формуле (7.3.16) в виде суммы
двух мнимых экспонент и используем соотношение (2.3.4), то можем получить
следующее выражение для Л:
k t J *
(7.3.18)
Заменяя переменную суммирования к во втором члене этой формы на -к, мы
можем окончательно предста-
О Л
• •
Фиг. 36. К пояснению того, что формула (7.3.19) при заданном векторе
дифракции S/Я, определяет интенсивность однофононного процесса в точке
обратной решетки, отстоящей на вектор к от ближайшего узла обратной
решетки.
вить выражение для интенсивности рассеяния первого порядка, отнесенной к
одному атому, в виде
Суммирование no к в (7.3.18) ограничено векторами, лежащими внутри зоны
Бриллюэна. Таким образом, для данного дифракционного вектора S/Л. этот
результат
Рассеяние рентгеновских лучей и холодных нейтронов 315
дает интенсивность в точке обратной решетки, расстояние которой от
ближайшего узла обратной решетки равно длине вектора к (фиг. 36).
В то время как максимумы интенсивности рассеяния нулевого порядка
(рассеяние статической решеткой) соответствуют точкам обратной решетки,
для которых S/К является вектором обратной решетки, формула
(7.3.19) дает распределение интенсивности рассеяния в окрестности
каждого узла обратной решетки.
Если обозначить угол между вектором S и единичным вектором поляризации у
j через , то (7.3.19) можно записать в виде
(7.3.20)
Более простые выражения для величины (Л(к)), полезные при
экспериментальном определении динамических свойств кристаллов, получаются
для высоких и низких температур. В первом случае имеем
</1(k)) = g-2nfol2±wLi; - 'I"!7- , (7.3.21а)
во втором
(Л (k)>3? (4)' ? • (7.3.216)
j=1
Выражения величины W для предельных случаев низких и высоких температур
были рассмотрены в предыдущем параграфе.
Для кубических кристаллов, если волновой вектор к лежит вдоль одной из
главных осей кристалла, формула (7.3.20) значительно упрощается, так как
в этом случае упругие волны будут либо чисто продольными, либо
поперечными. При суммировании по / в (7.3.20) отличный от нуля вклад
дадут только продольные волны. Поэтому интенсивность рассеяния первого
порядка
316
Глава VII
для вектора S/К (а следовательно, и для к), лежащего вдоль одной из осей
[100], [110] или [111] в кубическом кристалле, имеет вид
(Л(Ь)>= 1/о12*-2У-^-(т)г cth(Mk(r)/~)'- <7-3-22)
С помощью этого результата по наблюдаемой интенсивности можно определить
дисперсионную кривую (o = c)j(k) для продольных волн. Поскольку как раз
для этих направлений вековой определитель распадается на множители,
полученный выше результат значительно облегчает сравнение эксперимента с
теорией. Дисперсионные кривые для поперечных колебаний можно определить
по измерениям интенсивности вдоль направления, перпендикулярного к одной
из осей симметрии в пространстве обратной решетки. В этом случае вектор
S/А, образует угол <р с осью симметрии (направлением распространения
продольных волн), и выражение для интенсивности принимает вид
w Г sin2 f cth (р/ког (k)/2) , cos2 <p cth (pfico, (k)/2) 1 /<7 0 ооч
X L-------Цю + J • (7'3,23)
Используя дисперсионные кривые для продольных волн, полученные с помощью
(7.3.22), можно из (7.3.23) найти дисперсионную кривую для поперечных
волн.
Предыдущее рассмотрение применимо только для моноатомных кубических
кристаллов. В случае двухатомных решеток это рассмотрение должно быть
обобщено, поскольку наряду с акустическими следует принять во внимание
оптические колебания. Борн [278] дал другую формулировку задачи
рассеяния, которая непосредственно применима к более сложным решеткам.
Можно показать, что диффузная интенсивность около "запрещенных" отражений
является результатом рассеяния рентгеновских лучей только оптическими
