Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
Частоты были рассчитаны в 429 точках приведенной V24 части первой
бриллюэнов-ской зоны. С помощью построенной гистограммы была рассчитана
теплоемкость [98]. Согласие между теоретическими и экспериментальными
значениями теплоемкости для температур выше 20° К очень хорошее
(расхождение составляет около 3%). Ниже этой температуры совпадение
результатов ухудшается. Однако в этом случае трудно количественно оценить
точность данной модели, поскольку для низких температур нет согласия в
приводимых экспериментальных значениях удельной теплоемкости [100, 101].
Довольно обширная литература имеется по динамическим свойствам слоистых
кристаллов, в частности графита. Критический обзор исследований по этому
вопросу был выполнен Ньюэлом [102]. В его статье можно найти ссылки на
большинство более ранних работ. Интерес к слоистым кристаллам связан с
тем, что пренебрежение взаимодействием между атомами соседних слоев
приводит для удельной теплоемкости при низких температурах к характерному
для двумерных решеток
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 121
закону Т2. Хотя первые экспериментальные данные, полученные для
нескольких кристаллов, казалось, подтверждали этот вывод, последующие
опыты дали отрицательный результат. Из теории Борна - Кармана для
удельной теплоемкости трехмерного кристалла при достаточно низкой
температуре всегда вытекает закон Р. При повышении температуры тепловая
энергия может сильно ослабить связь между атомами различных слоев, так
что кристалл можно рассматривать как ансамбль двумерных решеток, и,
следовательно, его удельная теплоемкость должна быть пропорциональна Т2.
При более высоких температурах возможна линейная зависимость удельной
теплоемкости от температуры. Переход от одной температурной зависимости к
другой происходит не скачком, а постепенно.
Ньюэл пришел к заключению, что такое поведение удельной теплоемкости,
которое в некоторой мере подтверждается экспериментами для графита [103]
и нитрида бора [104], является следствием особых свойств межатомных сил,
отличных от тех, которые обусловлены слоистой структурой кристалла.
Имеется несколько расчетов спектров собственных частот для кристаллов со
структурой алмаза [105-107], первый из которых был выполнен Смит [105],
применившей для вычисления функции распределения частот метод подбора
корней. В этом расчете была использована модель кристалла с
взаимодействием между ближайшими и следующими за ними атомами и получено
лишь качественное согласие с экспериментальными данными для удельной
теплоемкости. Сложный расчет теплоемкостей кристаллов Ge и Si был
проделан Хеи [106]. Автор использовал для вычисления спектров собственных
частот модель, предложенную Смит. Согласие с опытом при низких
температурах (ниже 80° К) получилось лишь посредственное, а вычисленная
дебаевская температура 0 только качественно, но не количественно
согласуется с экспериментальными значениями.
Сравнительно недавно колебательные спектры германия, кремния и серного
олова были вычислены Филлипсом [107]. Свой расчет Филлипс основал не на
определенной модели силовых постоянных, а на эксперимен-
122
Глава III
тальных значениях упругих постоянных и на дисперсионных кривых,
полученных в опытах по рассеянию медленных нейтронов (см. гл. VII). Этот
метод основан на использовании экспериментальных дисперсионных кривых и
на применении теоретико-групповых и топологических методов для
определения положения критических точек функции ю(к) в к-пространстве.
Знание особенностей функции G(o2), обусловленных этими критическими
точками, и учет нормировки каждой ветви спектра позволяют определить
функцию распределения собственных частот. Вычисленная с помощью этой
функции распределения удельная теплоемкость в интервале температур 15-
125° совпадает с экспериментальными значениями с точностью до нескольких
процентов.
Использование опытов по рассеянию медленных нейтронов для определения
дисперсионных кривых вскоре показало, что модели решеток с
близкодействующими силами непригодны для кристаллов типа алмаза. Герман
[108] показал, что если для германия использовать общую модель силовых
постоянных Борна - Куня, то для получения согласия с опытом необходимо
учесть взаимодействие между атомами вплоть до пятых соседей.
Теоретическое объяснение природы дальнодействия межатомных сил для
решеток типа алмаза было дано Лаксом [109]. Лаке пришел к выводу, что
дальнодействие обусловлено квадруполь-квадрупольным взаимодействием,
убывающим как пятая степень обратной величины расстояния. Из других
соображений к аналогичному заключению пришел Кохран [НО].
Другие вычисления динамических свойств решеток типа алмаза были выполнены
Раманатаном [111], Джеймсом [112], Гаррисоном1) и Колем и Кинеке [ИЗ]. В
отличие от первых исследователей, которые основное внимание уделили
выбору различных моделей для решеток типа алмаза, Коль и Кинеке вычислили
функцию распределения собственных частот (гистограмму) для германия и
