Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
противоположно тому, какое было с кристаллами. В теории кристаллов мы
начали с континуума. Потом, чтобы быть ближе к природе, пришлось перейти
к решетке. Кабель можно считать континуумом: здесь нас интересуют волны,
не имеющие отношения к молекулярным размерам. Но все-таки и для кабеля
имеет смысл рассматривать дискретную модель, и вот почему. Пусть,
например, кабель имеет длину 200-300 км. Такой кабель очень трудно
исследовать в натуре. Поэтому часто требуется создать лабораторную модель
кабеля. Электрические свойства кабеля определяются его емкостью,
индуктивностью, сопротивлением. При воссоздании кабеля в лаборатории
нельзя заменить его одним контуром с емкостью и индуктивностью, равными
емкости и индуктивности кабеля. Это ничего не даст: в кабеле возможен ряд
явлений, чуждых цепи с одной степенью свободы. Но можно сделать
искусственный кабель из ряда дискретных сосредоточенных емкостей и
индуктивностей, общая емкость и индуктивность которых такие же, как у
настоящего кабеля. Подобный искусственный кабель легко построить.
Возникает вопрос: насколько он может воспроизводить свойства настоящего
кабеля? Оказывается, что достаточно небольшого числа ячеек, чтобы
получить очень хорошую апроксимацию. Если мы берем модель кабеля из 30-40
ячеек, имеющих такую же общую емкость и такую же общую индуктивность, как
кабель, то
о, /ш40 = 0,9997
ТРИДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
313
(ш -основная частота кабеля; ш40 - основная частота цепочки из сорока
звеньев). Следующие частоты, по крайней мере ближайшие, тоже при этом
хорошо апроксимируются.
ТРИДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
(8/V 1931 г.)
Фильтры (продолжение). Задача о собственных колебаниях; граничные усло-
вия. Апроксимация кабеля одной ячейкой и многими ячейками. Фильтр как
передающая система. Критическая частота; условия пропускания. "Обратный"
фильтр. Физическое объяснение действия фильтров. Вычисление напряжения на
конце фильтра в области пропускания. Резонанс.
Продолжим исследование фильтра с одинаковыми ячейками. Он описывается
уравнениями
- - = Q (? = 1, 2, ..., n). (1)
Для определенности задачи нужно указать условия на концах. Закрепленным
концам механической цепочки здесь соответствуют открытые концы:
^(0) = о, 9(и+1) = 0.
Совершенно так же, как для цепочки, имеем:
q(к) _ д(к) cos ^ y-j.
12 \ 1 (2) - ZV) А" - ~ (А"+" -ь = 0.
Пусть
А(к) = а sin Ар. (3)
Тогда
qf) = а sin k$a cos (u)sf -ь <p9),
Шз= vfeSin2CTT (s==1' 2> •••'
(4>
314
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Эти формулы получаются из формул для цепочки из одинаковых масс, если
сделать замены
1 ,
ос= щ - Ь.
Задача о собственных колебаниях полностью решена.
^о> С о Рис. 128.
Если вместо (3) взять = 6 cos ?(3 (с тем же самым (3), мы также получим
решение уравнений (2). Сумма решений
Л<*> = a sin k$-*-b cos &|3 (5)
- тоже решение. Здесь неизвестны (3 и отношенио Ь/а. Их нужно определить
из двух краевых условий. Мы сразу взяли Ь = 0, так как заранее было
известно, каким краевым условиям придется удовлетворять (мы имеем право
угадывать решение, потому что знаем, что оно единственное). При других,
более сложных, краевых условиях понадобилось бы использовать решение (5).
Пусть имеется кабель с равномерно распределенными емкостью и
индуктивностью и с открытыми концами (рис. 128). Как апроксимировать его
одной ячейкой (первое самое грубое приближе-С0)2 ние)? Сделаем, например,
так, как показано на рис. 129: индуктивность, равная всей индуктивности
кабеля L0, сосредоточена в одном месте, а емкость, равная всей емкости
кабеля С0, разделена на две части. Здесь - одна собственная частота. Ее
можно сравнивать только с основной частотой кабеля a>a.
Если Lx и Сх - индуктивность и емкость на единицу длины кабеля, то
скорость распространения волн в нем равна \/\jLXCX • Так как кабель
открыт на обоих концах, то на его длине I укладывается полволны и
" _ о 1 1 __ 77 77 _
vz^'2i '
Рис. 129.
1 [См. 3-ю лекцию части П.]
ТРИДЦАТЬ ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
315
Контур рис. 129 имеет собственную частоту
2
Ш =г ------
'JLoCo '
¦сильно отличающуюся от Wj. Но и при одной ячейке можно получить лучшее
приближение, если иначе распределить параметры. Прежде чем это показать,
рассмотрим апроксимацию кабеля фильтром из п ячеек. Чем больше п, тем
лучшее приближение можно получить.
Повидимому, наилучший способ распределения индуктивности и емкости кабеля
между п ячейками состоит в следующем. Разобьем кабель на п + 1 участок.
Поместим в середине каждого участка
LIZ LIZ LIZ LIZ L/Z LJZ
ътг*
с
Рис. 130.
сосредоточенную емкость С, равную емкости участка, а слева и справа от
нее две индуктивности L/2, равные в сумме распределенной индуктивности
участка (рис. 130). Из п -+-1 участка получается п ячеек. Сумма емкостей
всех ячеек равна емкости всего кабеля. С индуктивностью дело обстоит
иначе: половинки L/2 на концах остаются "мертвыми". Емкость С0 и
индуктивность L" всего кабеля связаны с С и L соотношениями:
С(п-ь1) = С0, L(n -+- 1) = L0.
