Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Это нашел Бернулли, и он сделал отсюда такой вывод: можно задать
начальную форму струны как угодно - изогнуть ее произвольным образом и
отпустить. Но-тогда формула (31) должна представлять любую функцию. Итак,
если правильно, что любое колебание струны можно выразить как сумму
колебаний вида (30), то любую функцию можно представить в виде ряда
синусов. Здесь на основании физических соображений высказывается глубокое
математическое утверждение.
Если емкость на единицу длины не постоянна, а изменяется с х, то
решениями будут не синусы, а какие-то другие функции. Но все соображения
о разложении произвольной функции на систему функций, являющихся решением
задачи о колебаниях сплошной системы, остаются в силе. Для различных
неоднородных систем получаются различные системы таких "собственных
функций". Учение о разложении заданной функции в ряд по собственным
функциям рассматриваемой колебательной задачи имеет очень существенное
значение и в математике и в физике.
(30)
ЧАСТЬ ВТОРАЯ КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
(19IX11931 г.)
Теория относительности утверждает, что не существует абсолютно твердых
тел. Различные подходы к задаче о колебаниях твердого тела. Предельный
переход к сплошной среде в решении задачи об одномерной упругой цепочке.
Вывод уравнения стержня из теории континуума. Замечания о понятии
скорости волны. Производная для данного места и для данной частицы.
Изотермический и адиабатический модули Юнга.
Теория относительности принципиально не допускает существования абсолютно
твердого тела. Мы знаем, что ни один сигнал не может распространяться со
скоростью большей, чем скорость света в вакууме. Это было бы не так, если
бы существовало абсолютно твердое тело: перемещение твердого тела как
целого можно рассматривать как сигнал, который мгновенно передается по
телу. Если тело не абсолютно твердое, то при смещении одного его конца (в
сторону другого конца) возникает сгущение, которое будет распространяться
с определенной скоростью.
Состояние деформированного "твердого" тела не может быть описано с
помощью конечного числа параметров. На первый взгляд это несколько трудно
соединить с представлением о молекулярной структуре тела.
Колебания сплошной, среды играют важную роль в физике и ее приложениях.
Возьмем вопрос о колебаниях струн в акустике. Это по многим соображениям
- один из основных вопросов для нас, в частности потому, что в истории
науки большую роль сыграли математические вопросы, связанные со струной.
Борьба между различными йзглядами на функцию развивалась как раз в связи
с уравнением колебаний струны1.
1 [См. 5-ю лекцию части II.]
334
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Струна, стержень - это распределенные системы в одном измерении. Есть и
двухмерные системы. С ними мы имеем дело при изучении колебаний пластин и
мембран. Важны и трехмерные распределенные системы.
Большое значение имеют задачи о колебании балки, о крутильных колебаниях
валов. Затем идут вопросы, связанные с мостами. В первом приближении
можно рассматривать мост как стержень. Далее идут вибрации -корабля,
колебания турбинных лопаток и т. д.
Другой круг вопросов - электрические распределенные системы, например
лехерова система. Теория колебаний распределенных систем охватывает и
вопросы, связанные с антеннами беспроволочного телеграфа.
Динамика сплошного тела - это вопросы распространения колебаний. В случае
электрических колебаний мы тоже имеем дело с вопросами распространения в
сплошной среде.
Все эти вопросы представляют и чисто математический интерес. Физика дала
громадный толчок математике. Именно в связи с задачами о колебаниях
сплошной среды развились интегральные уравнения, отсюда же возникла
теория разложения в ряды Фурье. В связи с этими задачами Бернулли первый
сказал, что произвольную функцию можно разложить в тригонометрический
ряд.
Мы не сможем здесь коснуться и малой доли всех вопросов. В частности, мы
почти не будем касаться вопросов распространения, хотя они имеют очень
большое значение.
Поясним на примере физическую постановку задач, относящихся к колебаниям
в сплошной среде.
Пусть имеется стальной стержень и мы хотим изучить его динамику. Мы
знаем, что все тела состоят из молекул. Казалось бы, проще всего
разобрать вопрос с молекулярной точки зрения: даны силы, действующие
между молекулами; требуется найти, как происходят колебания стержня. Этот
путь в настоящее время невозможен по многим причинам, хотя бы по
следующей. Для изучения молекулярного механизма нужна волновая механика,
но попробуйте рассчитать задачу о 1021 телах!
Второй путь заключается в следующем* Мы рассматриваем тела с молекулярной
точки зрения. Например, кристалл каменной соли мы рассматриваем как
кристаллическую решетку, построенную из ионов хлора и ионов натрия. Но мы
можем идеализировать силы и решать задачу так, как будто атомы или ионы в
решетке
ПЕРВАЯ ЛЕКЦИЯ
335
кристалла действуют друг на друга с определенными квазиупру-гими силами.
