Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
Это, в сущности, механический фильтр. В сейсмографии берут для той же
цели одну систему с очень медленным периодом; для высокочастотных
колебаний такой механический фильтр гораздо эффективнее. А. И.
Данилевский применял аналогичные устройства для записи граммофонных
пластинок (при передаче акустических колебаний на резец).
Рассмотрением фильтров мы закончим наш курс в этом году. Сделаем
несколько заключительных замечаний.
Колебания - очень важная и специфичная область.
Одна из характерных черт колебательных систем - та, что они несут в себе
свой масштаб времени. Он определяется собственным периодом колебаний,
или, если говорить более общо, динамическими свойствами системы. Именно
этот временной масштаб является решающим в вопросах резонанса, а также в
вопросе о связи, о взаимодействии между колебательными системами. Если
колебательные системы расстроены, то даже на "близком" расстоянии они
почти не действуют друг на друга; если они настроены, то они сильно
взаимодействуют даже на "большом"
330
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
расстоянии1. Таким образом, какое расстояние между колебательными
системами следует считать близким, а какое--далеким, зависит от их
колебательных свойств.
Эти представления особенно важны в волновой механике. Она в каком-то
смысле рассматривает всякое тело как колебательную систему. В частности,
молекулы являются колебательными системами. Их взаимодействие коренным
образом зависит от соотношений их колебательных свойств. Поэтому
пространственное расстояние двух молекул само по себе не дает еще
указаний на то, действуют они друг на друга заметно или нет.
Итак, законы взаимодействия колебательных систем очень специфичны. Вместе
с тем они являются общими для самых различных явлений, происходящих в
электрических контурах, маятниках, кристаллах. Это - совершенно разные
вещи, но колебательные закономерности их объединяют.
Из-за недостатка времени мы очень бегло коснулись теории нелинейных
колебаний и совсем не затронули колебаний распределенных (сплошных)
систем. Между тем потребность в этих разделах теории колебаний -
насущная.
Струна, кабель - это сплошные системы. Как происходит переход от
дискретной системы к сплошной? Мы можем это выяснить на примере фильтра.
Для дискретной системы (фильтра) мы имели:
ц('*) - as sin cos (<pat -i- <p8), (24)
"*=7fesin 2(^17 (25)
(через здесь обозначено напряжение на &-том звене). У нас было п ячеек и
п соответствующих им величин Каждая из
них-функция времени.
Пусть каждая ячейка делается все меньше, а число ячеек - все
больше. Тогда неудобно характеризовать ячейку ее номером.
Введем расстояние х от начала системы до рассматриваемой ячейки. Пусть
расстояние между ячейками будет d. Тогда
x~kd, l = (n-?-l)d. (26)
1 [См. 25-ю лекцию.)
ТРИДЦАТЬ ВТОРАЯ ЛЕКЦИЯ
331
Подставляя (26) в (24), получаем:
/ \ • SJC-*- / # Ч
и (х) = as sin -j~- cos (соst -+- <p").
(27)
В этой формуле дискретность исчезла, но это пока только видимость, так
как и имеет смысл лишь для дискретных значений х.
Пусть теперь число ячеек растет неограниченно, т. е. п-* со. В пределе и
становится непрерывной функцией двух величин: t и х. Легко убедиться, что
эта функция удовлетворяет одному дифференциальному уравнению, но в
частных производных, а именно уравнению
где Lx и Cj - индуктивность и емкость на единицу длины. Этому
дифференциальному уравнению в частных производных удовлетворяет вся
совокупность функций (27), соответствующих различным значениям s.
Задачи о колебаниях сплошных систем приводят к составлению и решению
дифференциальных уравнений в частных производных с добавлением краевых
условий (краевые условия играют в математике чрезвычайно важную роль).
Этот метод гораздо более могуч, чем методы, применяемые при рассмотрении
дискретных систем со многими степенями свободы. Там мы умеем решать
некоторые задачи только потому, что они обладают определенной симметрией,
например в случае одинаковых звеньев. Заметим также, что методы,
применяемые для решения задач о сплошных системах, охватывают и системы,
имеющие больше одного измерения.
Таким образом, открывается целая новая область исследования, интересная и
физически и математически, - колебания сплошных систем.
Мы знаем, что общим решением в случае дискретной системы (s принимает
только конечное число значений: s = l, 2, ...,п)
является
1 Й2ц д*и
LlCl dx* of- '
(28)
11
(29)
Можно ожидать, что и в случае сплошной системы, когда s
332
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
принимает бесконечный ряд значений, общее решение может быть построено по
аналогии с (29), т. е. имеет вид
Правильность этого предположения можно доказать. То, что решение (30)
является общим, означает, что оно должно изображать- при соответствующем
подборе величин а" и <ps - любой начальный вид функции и и ее производной
по времени:
Мы говорили о кабеле. Но выражением, аналогичным (29),. может быть
описано также любое колебание однородной струны с закрепленными концами.
