Лекции по колебаниям - Мандельштам Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
./(")
9:
D
причем 9 = 0 (когда вал вращается, положение равновесия смещено).
Мы хотим исследовать колебания вокруг нового положения равновесия.
Положим для этого
/ (и)
?1 = ? D-
Для 9j мы получаем однородное уравнение:
1'ъ "+¦ O'- /Чи)1 <р 1 ¦+¦ D(f 1 = 0.
(2)
ТРИНАДЦАТАЯ лекция
133
Вместо колебания вокруг нулевого положения, которое было при п = 0,
теперь происходит колебание вокруг смещенного положения равновесия (рис.
40). Общее решение уравнения (2) таково:
/(в) , -4-[!*+/'(")]* .
<р = ~"-+'Ле 2 cos(">?ф).
Если f(u)^>0 или если 0, но по абсолютной величине
меньше, чем [а, то ничего нового нет, колебания затухают. Но
возможно
&' = у [(*-*-/'(и)] <0.
Тогда происходит нарастание колебаний.
Этот случай несет в себе очень большие,
существенные изменения по сравнению со случаем затухания колебаний.
Физически нет возможности (принципиально!) ограничиться при наличии
нарастания линейным уравнением.
В случае же затухающих колебаний это возможно для большого круга задач.
Обратимся к другому примеру. Постара-
емся построить упрощенное дифференциальное уравнение катодного
генератора. Но сначала повторим в двух словах некоторые общие сведения.
Изобретение катодной трубки1 внесло переворот в радиотехнику. Действие
катодной трубки основано на одном известном физическом явлении-эффекте
Ричардсона. Металлический (вольфрамовый) катод нагрет примерно до 2500°.
При этом с поверхности металла выходят электроны. Внутри металла всегда
имеются свободные электроны, но выскочить при низкой температуре они не
могут, так как есть препятствующее этому силовое поле. При нагревании
металла скорости электронов увеличиваются, и некоторые из них могут
выскочить. Электроны заряжены отрицательно, и при положительном
напряжении на аноде все электроны, выделяемые металлом, летят на анод.
Если напряжение на аноде отрицательно, то ток равен нулю (рис. 41). Но
это слишком упрощенная картина. На самом деле ток меняется непрерывно
(пунктирная
1 [По современной терминологии - электронной лампы. Генератор также
называется теперь не катодным, а ламповым.]
134
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
кривая на рис. 41). Это объясняется не принятым нами сначала во внимание
взаимодействием электронов между собой. Явление это называется эффектом
пространственного заряда.
Можно ввести третий электрод - сетку (рйс. 42). Введение сетки -
громадное достижение. На движение электронов сильнее всего влияет поле
около катода (нити). Анод заряжен положительно. Сетка близка к катоду.
Достаточно подать на сетку малый потенциал, чтобы около катода получилось
сильное поле. Изменяя напряжение на сетке, мы сильно изменяем анодный
ток.
Рис. 41. Рис. 42.
Сила тока зависит от напряжения на сетке и от напряжения на аноде. Эта
зависимость имеет такой вид:
ia f 1 ,
где
D<^ 1.
Это значит, что действие анода на много слабее, чем действие сетки:
анодом "перехватывается11 лишь часть силовых линий, исходящих от катода.
Величину D иногда называют "прохват11 (по-немецки Durchgriff)J.
Вот как, в общих чертах, действует катодная лампа. С ней можно сделать
бесконечно много разных вещей. Нас сейчас интересует схема, показанная на
рис. 43. Это одна из основных схем, которыми пользуется теперь
беспроволочная телеграфия. Ее впервые построили с другой целью, но
оказалось, что в ней самопроизвольно возникают незатухающие колебания.
Подбирая L и С, можно получить колебания с различным собственным
периодом.
1 [В настоящее время для величины D общепринятым является термин
"проницаемость"].
ТРИНАДЦАТАЯ ЛЕКЦИЯ
135
Нам нужно написать дифференциальное уравнение этой схемы. Опыт
показывает, что в ней могут происходить колебания, и теория должна
позволить нам овладеть этим явлением (вначале им владели плохо).
Уравнение мы составим с помощью метода, подоб-
ного тому, который используется для цепей постоянного тока, - метода
Кирхгофа.
Обход по колебательному контуру дает уравнение
п ¦ dQ
При этом i - (г- ток в
ветви с конденсатором), но i=^=I, так как есть разветвление. Здесь
Рис. 43.
I iai
и, следовательно,
dQ_ dt "
I-ia. (4)
Продифференцируем (3) и подставим в (4). Мы получаем:
L- -+-R -ь -- -
и А dt С - С '
или
S + + (5)
где
2 1 о* R
"о LC ' L '
Из уравнения (5) еще ничего получить нельзя. Все дело в правой части. Что
такое /0? Существует определенная характеристика лампы (зависимость
анодного тока от управляющего напряжения), которая должна быть задана на
основе экспериментальных данных. Пусть батареи анода и сетки имеют
электродвижущие силы еа0 и egQ. Анодное напряжение складывается из
электродвижущей силы батареи и электродвижущей силы -L в ка-
тушке колебательного контура. Магнитное поле тока в контуре
136
ЛЕКЦИИ ПО КОЛЕБАНИЯМ. ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
пронизывает сеточную катушку, и в ней наводится электродвижущая сила -
Таким образом,
4 = / |Чо - M-Jj н- D (еа0 - L Щ J. (6)
Коэффициент М может быть как положительным, так и отрицательным. Его знак
очень существенен. Если обе катушки навиты одинаково (рис. 44, а), то М
