Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
пространстве состояний ротатора задается сферическими функциями Гу т (0,
ф) - xYlm. Здесь т - проекция углового момента. Действие оператора на
этом базисе можно задать с помощью формул [50]
L± = L\ Чд > t1 ± - Р1 гЬ У 'Vlm - /(1-\-т Н- 1)(Z - то) т!"+1; /уг'г =
тГ|п;
А+Т', - /(Z-m)(Z-m-l)C,4'^I -
- |Л(/ - т)(1 У т + 1) /1(1Вт+1 -Г
+ V (М- т + 1)(г + то + 2) Сг+1гГ.[+^;
КДГт = /(I - т)(1 + то) СУГ^Г1 - тА{?1т -
- У (1 + то+1 )(1-т+ 1) C[+1Y+1) (5.3) = - У (I + m)(l + то - 1) СУГ^Л -
- V (г +.mW - то + 1) - у (1 -т + 1)(Z - то + 2) X
х У+Л+Д.
Оператор ^задается, таким образом, своими матричными элементами. Числа A
i и Ci задаются формулами
Вместо чисел к0 и с можно выбрать другую пару констант то и р, связанных
с к0 и с формулами
к0 = | то/2 |; с = -/(sigHTO) р/2, (5.5)
Величины то и р задают неприводимое представление SL(2,C)-группы Лоренца.
Таким образом, видим, что уровни энергии ротатора можно объединить в одно
неприводимое представление группы Лоренца. Причем можно реализовать
различные возможности. Так, можно подсовокупности уровней с I /0
рассматривать как одно неприводимое представление компактной 0(4)-группы
[10], а остальную часть спектра рассматривать как представление группы
Лоренца. Можно также связать с различными подсовокупностями уровней
ротатора представление S /7(3)-группы. Объединение копечпого числа
уровней с разными энергиями в один мультиплет компактной группы полностью
аналогично объединению уровней многомерного осциллятора с разными
частотами в мультиплет ?/7(п)-группы [51]. Объединение уровней ротатора с
в мультиплет 0(4)-группьг легко выполняется с помощью переноса
соответствующих формул (см. ниже), справедливых для атома водорода, где
состояния с заданной энергией вырождены по моменту и момент пробегает ряд
значений от нуля до п - 1 (здесь п - главное квантовое число). Выбором
параметра р в (5.5) можно менять представление группы Лоренца,
описывающее весь спектр энергий ротатора.
§ 6. Симметрия атома водорода
Рассмотрим, следуя [11], группу симметрии атома водорода. Как показано в
работе [31, уравнение Шредингера в импульсном представлении
4-т (р) - S -J-iif-d3pr = ех? ш (б-1)
имеет такие интегрируемые с квадратом модуля решения, которые в новых
переменных \-г, = 1 (г = 1, 2, 3, 4):
2 2
е- 2р" -i>; щ - р"г--г; = (6.2)
Ро + Р2 Р о + Р2
являются гармоническими полиномами вектора на четырехмерной сфере, т. е.
удовлетворяют уравнению
д"р - + "г + -щ- -г - 0. (6.3)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что 15 операторов, вид
которых подсказан аналогией уравнения (6.3) с уравнением Клейна - Гордона
с массой нуль, допускающим конформ-
22
пую группу симметрии, изоморфную 0(4,2):
Ши 4 2gs;
^ (6,4)
Л=-г-^|-; М;к = - / =
коммутируют на решениях уравнения (6.3) с четырехмерным лапласианом.
Составим из операторов (6.4) линейные комбинации:
Тцу. = - Ьы, i,k - 0,1,2,..., о; Lin - Мщ, i, к = 1, 2, Л, 4;
(6.5)
I'ib ~ Х/г (^i J ' ^г)> i'in = Х/г (^t + ^5П " ^ *
удовлетворяющие стандартным коммутационным соотношениям алгебры Ли
0(4,2):
[Ти*, ^ ^ "Ь 6^Z/jm). (6-6)
Эта совокупность операторов и определяет симметрию задачи в смысле,
обсужденном в §| 1, 3.
Собственные функции атома водорода, отвечающие главному квантовому числу
N, образуют базис конечномерного неприводимого представления компактной
0(4)-группы (с генераторами
Как хорошо известно, каждый вектор этого базиса полностью определяется
заданием двух аддитивных квантовых чисел и v2, которые являются
собственными числами операторов (Мы -|-М23)/2, (М2з-Мы)!2 и пробегают все
(или целые, или по-луцелые) значения в области
-(N - 1)/2 < v, < (.V - 1)/2;
-(N - 1)/2 < v2 <; (N - 1)/2. ^ 1
Собственные функции атома водорода, отвечающие главному квантовому числу
N = п + 1, можно реализовать как неприводимые тензорные степени
вектора причем этот тензор
полностью симметричен по любой перестановке индексов и его свертка по
любой паре индексов равтга пулю. Так, при N = 1 П° = 1; при N - 2 имеем
четыре функции: = -2|х, =
= - 2|а, ПзХ) = -2|3, п?° = - 2|4; при VV = 3 тензор Л*!* имеет вид,
пропорциональный - ^п6гЧ-/4. Операторы (6.4) содержат дифференцирование
по всем четырем переменным Волновые функции состояний атома водорода
получаются из тензора при условии I(r) = 1. Однако, чтобы получить О ^^-
представление алгебры, используем такой прием: будем пока считать эти
переменные независимыми. Тогда матричные элементы операторов
23
(6.4) в базисе Бц?ц, ...,in имеют вид [11]
ЛП- ¦ - Л- ¦ гб"-(c) - ¦
1 г^г,, гг,. %п - Oi, ,п+1Ыг,, гг,..., 1", г"+1>
...,in = i [2" | ijtn?0 .. t w -k
*=i - ^...........
2 a, 1^-i6l;'ifr ' ' ' ij~r ij+r '' '' ik~v i,i+1 ^ '
= (re + 1) llj^ i";
(c)ij1 Ii,.). • ¦ , i" 1 [ij 6r. ift11!.?. • • - Д_г \.+r .... i"i ~
h - I
- &}, ijlij. . . , iA--f¦ i, ¦ ¦ ¦ • V "] ¦
Здесь символ (/, /с) означает суммирование по всем сочетаниям из п
индексов по два.
Теперь будем рассматривать эти формулы для определения того, как
