Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
'Г0 (г) (тл/лН)'1* охр [- (|/ тлх)2/2Щ. (9.4)
В этом состоянии произведение неопределенностей координат и импульсов
минимально: Ар Ах - %/2. Когерентное состояние определяется как
собственное состояние оператора уничтожения
а | а) - а | а). (9.5)
Если решить дифференциальное уравнение первого порядка
(9.5), то можно найти явный вид нормированного когерентного состояния:
. /тю х'/* Г / т / тш \2 a2 lap
Г> = Ы е*р[-(У -wx~a) +~г~ V
(9.6)
32
Это состояние может быть получено из основного состояния (9.4) с помощью
оператора сдвига D(а):
D( а) = ехр(асД - а *а). (9.7)
Оператор сдвига D(а) унитарен и обладает свойствами
D*(a) = D-\a) = D(- a); D( а) = e-lal'/V"V"*a. (9.8)
Кроме того, этот оператор сдвигает операторы а и сД на комплексные числа:
D~1(a)aD(a) = а + а; 0"1(а)а1'0(а) = at + а*. (9.9)
Закон умножения операторов сдвига D(а) таков:
D(a)D(p) = D(a + р)ехр['Дар* - а*р)]. (9.10)
Когерентное состояние | а> получается из (9.4) следующим образом:
| а> = ща) | 0>. (9.11)
Когерентное состояние | а) можно найти в виде разложения по нормированным
стационарным состояниям осциллятора (фоков-ским состояниям) | п),
удовлетворяющим условию afa | п) = = п | /г):
|а> = ехр(--1^-) (9.12)
п=о
Легко вычислить скалярное произведение двух когерентных состояний (9.6):
о(c)
<Р | а> = ^ йхф \ х} <г | а>= ехр Ц^- + ар*) . (9.13)
- оо
Это означает, что когерентные состояния неортогональны. Модуль скалярного
произведения равен
| <Р | а) |2 = ехр(- | а - р |2). (9.14)
Эта величина мала, если [ а - р [2 1, т. е. если комплек-
сные числа аир достаточно далеко лежат друг от друга. Величина d2а
связана с элементом фазового объема:
я_1й2а = Jt_1d(Re а) d(Im а) = (2я?г)-1 dp dx. (9.15)
Фоковские состояния | /г> образуют полную систему функций
оо
2 (х | п ) (п | х'} = 6 (х - х). (9.16)
71=0
2 И. А. Малкин, В. И. Манько 33
Легко показать, что когерентные состояния также образуют полную систему
функций
Любое состояние | /> может поэтому быть разложено по когерентным
состояниям:
Когерентные состояния не являются линейно независимыми. Так, одно
когерентное состояние | а> может быть выражено через другие состояния:
Таким образом, когерентные состояния образуют переполненную систему
функций, и поэтому разложение по ним не является однозначным. Матричные
элементы оператора сдвига D(a) относительно состояний | п~} легко
вычисляются и выражаются через ноли-номы Лагерра:
Любой оператор А может быть также разложен по когерентным состояниям:
А = л'2 jj | а> А (а*, р)]<р | ехр (- d2а d2 р. (9.22)
Здесь А{а*, |3) = <а | А | |3>.
Можно ввести, кроме обычных когерентных состояний, четные и нечетные
когерентные состояния. Для этого рассмотрим не простой осциллятор,
обсуждавшийся в § 4, а осциллятор с непроницаемой стенкой в начале
координат.
Операторы а ж аА под действием оператора инверсии координат I ведут себя
следующим образом:
ОО
(9.17)
- оо
(9.18)
- оо
оо
I а> = я 1 ^ | Р> ехр ($*а--------------------------------------- (9.19)
Яти (а) = <иг| D (а) | п}\
(~pj /sam_nHal2/2Z,jr_n((a|2), т^п;
(9.20)
Имеют место также следующие соотношения:
ОО
(9.21)
- оо
Ial = - a; IaAl = - at.
(9.23)
Из оператора а можно построить два оператора:
А = а2; А* = (а*)\ (9.24)
коммутирующие с оператором I.
Когерентное состояние осциллятора | а>, являющееся собственным состоянием
оператора а, получается из основного состояния действием вейлевского
оператора сдвига D(а). Оператор D(а) не инвариантен относительно
замены знака координаты:
ID(a)I = D(-a). (9.25)
Можно построить два оператора, реализующих неприводимые
представления группы, состоящей из двух элементов - единичного и инверсии
/: оператор
ch (сса* - а *а) = V2[D(a) + D(-а)], (9.26)
реализующий единичное представление, а также оператор
sh(aa^ - а *а) = 1/2Ш(а) - D(-а)], (9.27)
реализующий второе неприводимое представление этой группы. Собственные
функции операторов (9.26) и (9.27) являются четными и нечетными
соответственно, причем свойства четности этих функций относительно
координаты х такие же, как и относительно координаты а. Таким образом,
всегда можно ввести четное | а+> и нечетное | а_> когерентные состояния:
| а+> = V2(| а> + | - а"; | <*_> = V2(| <*> - | - а", (9.28)
причем эти состояния всегда ортогональны:
оо
<р_ I а+> --= 5 Тр*_ (х) Та+ (X) dx = 0. (9.29)
-ОО
Проекционные операторы
Р+ (а) = | а+> <а+1; Р_ (р) = | р_> <р_ |, (9.30)
где | а+> = N+ (| а |) | а+>, | р_> = N_ (| Р |) | Р_> - нормированные
состояния
Я±( I " !) = {VJ1 ± ехр(-2 | а j 2)]}-Vs (9.31)
обладают свойствами
Р+ = Р±] Р% = Р±, Р+Р_ = Р_Р+ = 0. (9.32)
Состояния | а) образуют полную систему функций
n_1]d(Rea) d(Ima) | а><а | = Е, (9.33)
где единичный оператор Е действует в гильбертовом пространстве
интегрируемых с квадратом модуля функций. Состояния | а+> и | а_У по
отдельности образуют полные системы функций в
2* 35
гильбертовых пространствах четных и нечетных функций:
я"1 J d (Re a) d (1m а) | а±> <а± | = Е±. (9.34)
