Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
величин. Однако в случаях, когда уравпения не найдены, например для
элементарных частиц, подход с динамическими симметриями дает
самостоятельную альтернативу для описания всей динамики. В этой связи
необходимо научиться формулировать всю динамику системы на языке
динамической группы в случаях, когда можно проверить все выводы с помощью
точно решаемых уравнений, т. е. для простейших систем.
Существование динамической алгебры Ли для квантовой системы, содержащей
повышающие и понижающие операторы, не удивительно. Интересным является
тот факт, что эта алгебра - часто конечномерная алгебра Ли. Рассмотрим,
например, одномерную задачу о частице массы т, движущейся под действием
потенциала V (.г) (эта функция считается бесконечно дифференцируемой).
Предположим, что наша алгебра содержит, наряду с гамильтонианом Ж,
оператор х, пропорциональный оператору дипольного момента (понятное
предположение, если мы считаем, что эта алгебра должна содержать
операторы, отвечающие за переходы в системе).
Тогда алгебра содержит коммутатор [Ж, х] = [р2/2т, х] = = -ihp/m, где р -
оператор импульса, а также коммутаторы
[Ж, р] = [V (х), р] = ih dV/dx; [dV/dx, р] = iH d?Vldx2.
Ясно, что за исключением лишь некоторых потенциалов специального вида, в
результате получаем бесконечномерную алгебру. В этих моделях, чтобы
построить конечномерную алгебру, необходимо иногда рассматривать оператор
дипольного перехода как лежащий не в алгебре Ли, а в ее обертывающей
алгебре. Проблема существования динамических групп физических систем
12
в настоящее время полностью не решена в теории динамических симметрий.
Если такая группа найдена, она может быть не единственной. До какой
степени динамические группы определяются единственным образом - еще один
не ясный до конца вопрос. К настоящему моменту наиболее интенсивная
деятельность в теории динамических симметрий была направлена на выяснение
их роли в конкретных моделях, хотя имеется ряд попыток исследовать
природу динамических групп в общем плане.
В первой и последующих главах сначала будут приведены главные результаты,
которые получены для различных моделей, исследовавшихся с точки зрения
динамических групп; будут разобраны более общие аспекты теории; подробно
рассмотрены некоторые нерелятивистские квантовые системы, в частности
простейшая из них - квантовый гармонический осциллятор, для того чтобы
можно было увидеть, как теория динамических симметрий "работает" для
простой модели. Затем будут рассмотрены динамические симметрии
релятивистских квантовых систем, описана общая связь интегралов движения
с динамическими группами, разобраны результаты работ, в которых были
развиты методы нахождения инвариантов, причем будут рассмотрены некоторые
примеры нестационарных систем. Далее мы коснемся также проблем
динамических симметрий в классической механике. В заключение, паряду с
общим обсуждением, дадим краткий обзор приложения метода динамических
симметрий к конкретным задачам.
§ 2. Динамические системы, функция Грина
и матрица плотности
Мы будем в дальнейшем исследовать главным образом конечномерные квантовые
системы, описываемые волновой функцией Т (xt, . • ., хп, t), зависящей от
п координат и времени. Волновая функция \F удовлетворяет уравнению
Шредингера (мы также будем рассматривать и релятивистские системы)
гТ<4г=^Т' С2-1)
А
где гамильтониан Ж является эрмитовым оператором (иногда мы будем
рассматривать и неэрмитовы гамильтонианы), % - постоянная Планка.
Гамильтониан Ж может явно зависеть от времени. Очень важную роль в
дальнейшем играет функция Грина квантовой системы, являющаяся ядром
оператора эволюции этой системы и содержащая всю информацию о системе.
Пусть волновая функция н-мерной квантовой системы (эс, t), х = (xlt . .
., х"), выражена через волновую функцию W(x, tQ) квантовой системы в
предшествующий момент времени t0 t с помощью некоторого оператора
эволюции О:
W(x,t) = 0 (t, to) ? (ж, to). (2.2)
13
Тогда можно записать это равенство в "матричном" виде:
Y (х, t) = J G (х, х', t, t0) Y (x', ta) das'. (2.3)
Интегрирование происходит по всем допустимым переменным -
координатам системы х'. Если подставить соотношения (2.2) или
(2.3) в уравнение Шредингера (2.1), мы получим уравнение для оператора
эволюции О и его ядра, а именно, оператор эволюции удовлетворяет
уравнению
тЛЕ- = жи, (2.4)
а его ядро - функция Грина G - удовлетворяет уравнению
ift-^- = $(x)G; t > to. (2.5)
В соотношении (2.5), являющемся матричной формой операторного соотношения
(2.4), оператор Ж (х) действует только на переменные х в функции Грина G.
Соотношения (2.4) и (2.5) следует дополнить начальными условиями, которые
очевидны. Так как при совпадающих временах волновые функции Y (t) и Y
(Z0) также должны совпадать, то оператор эволюции должен превращаться в
единичный оператор, т. е.
V (to, to) = /. (2.6)
Ядром единичного оператора в координатном представлении является 6-
функция Дирака, поэтому функция Грина должна удовлетворять условию
