Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(3.11) было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы матрица Л_1(1)
имела собственные значения р;, лежащие на единичной окружности | рг | =
1, и ее можно было привести комплексным симплектическим преобразованием S
к диагональному виду А-1 = SDS^, где D = \\ бг;-цг || [157]. Тем самым
условия устойчивости точки Q = 0 налагают существенные ограничения на вид
матрицы В. Однако этих ограничений на матрицу В еще недостаточно для
рассмотрения движения в приближении Жв- Квадратичный гамильтониан Ж в
(3.10), записываемый с помощью матрицы В, является некоторой
аппроксимацией точного гамильтониана Ж (3.9). Естественно, что и любой
квадратичный гамильтониан Ж в' вида (3.10) с матрицей В', близкой к
матрице В, очевидно, тоже может рассматриваться как аппроксимация точного
гамильтониана Ж, и, следовательно, решение Q = 0 должно быть устойчивым
для всех В', близких к В. В таком случае будем говорить, что Жв- сильно
устойчивый гамильтониан. Таким образом, для рассмотрения движения вблизи
положения равновесия необходимо требовать, чтобы Ж в был сильно
устойчивым гамильтонианом.
Критерий сильной устойчивости гамильтониана Жв (теорема Крейна -
Гельфанда- Лидского (см. [157])) состоит в том, что выполняются условия:
все собственные значения ц;- матрицы А (1) имеют вид р;- = ехр {+ где
со;- > 0, = 1, 2, . . .
(среди со; могут быть равные). Матрица А (1) имеет шесть различных
собственных векторов:
А"1 (1) /0) = ^./(5); А-1 (1) /*"> = ; = 1, 2, 3,
(3.13)
177
и, следовательно, приводится к диагональному виду; кроме того сигнатура
о1 Крейна
о} = i (/"), 2/*">), (3.14)
где 2 = °Е yj , (fP>, f(2>) - скалярное произведение векторов, одна и та
же для любых собственных векторов /О, отвечающих одному и тому же
собственному значению.
Как показано в [157], векторы отвечающие различным
собственным значениям, ортогональны:
i (/(Л, 2/*(*>) = 0, к Фи (3.15)
и могут быть нормированы условием
i (/">, 2/* ">) = ± 1. (3.16)
Рассмотрим теперь, следуя [228, 207], лишь случай устойчивого движения
заряда. Тогда матрица А_1(1) имеет шесть корней вида e±1<0i((Oj )> 0, /=
1, . . .,3), три линейно независимых собственных вектора /О), которые
являются собственными и для матрицы 2В 2:
2Я2/Ю = i<Oj/o> Л"1(1)/"> = ек'фО>, (3.17)
и три линейно независимых собственных векторов /<3+^ = /ТЛ.
Считаем, что собственные векторы /07 нормированы следующим образом:
(/O'), ст2/*(") =0, к; (/W), ст2/-">) = + 1, ст2 =
?2.
(3.18)
Введем, используя сигнатуру а;-, векторы F<b и F*0) = F(s+b. Пусть
/(;), если а(;) ,>0;
/(3+j), если o(j> <0,
где = (/(i), ст2/'0)), и частоты й;- равны
й;- = ojj sign = (c)у sign (/0>, ст^О)). (3.20)
Запишем соотношение (3.17) в матричной форме в обозначениях (3.19):
2 Fo2B = QF, (3.21)
или
ехр {2tBh}F = ^ ехр {фг}, (3.22)
178
fffl = (3-19)
где
F =
а =
/СО i (i) 2 /(1) * 1 6
/(2) /<2) . r 2 • П2)
fW / (3) 1 2 . If p1 /2
f*( 1) ff*(D r2 ¦ n(1) =K
J*(2) I *(2) 1 2 F*( 2) •
F*(3) 2 7. *(3) 1 6
Qj 0
q2
(3.23)
-Q,
О
- Qo
¦ч
(3.24)
Построим шесть неэрмитовых операторов - интегралов движения Aj (t), Af(t)
- для системы с гамильтонианом (3.10):
. дА} (0
dt
(3.25)
удовлетворяющих бозонным перестановочным соотношениям
[Aj, Atl = 6,у, [Aj, Ак] = 0.
Можно проверить, используя (3.12), (3.17) и (3.21), что интегралы имеют
вид
Aj(t) = е
где операторы равны
(3.26)
(3.27)
Интегралы движения (3.26) диагонализируют гамильтониан (3.10):
Ж = S Qj (А?А} + А}А*).
3=1
(3.28)
Аналогичная диагонализация гамильтониана с помощью интегралов движения
была применена для расчета излучения заряда в скрещенных полях [217].
Вопросам диагонализации квадратичных гамильтонианов посвящены работы
[219-221] (см. также
[218]).
Когерентные состояния строим как собственные функции операторов Aj(t):
Aj{t) | а; О = | а; t>, (3.29)
или Ij | а; t> = a}{t) | а; t>, а}(t) == а;-е_шЛ
179
Рассмотрим теперь фоковские состояния | п>, являющиеся собственными для
операторов
Фоковские состояния | п) образуют полную ортогональную систему <Х- | П}У
= 8tj.
Когерентные состояния | a; ty могут быть использованы как производящие
функции для фоковских состояний | п):
Из (3.30) следует, что фоковские состояния | п} являются стационарными
состояниями гамильтониана (3.28) и спектр энергий имеет вид
Еп - ^i(^i + V2) + ?22(п2 + 1/2) + &з(пз + 1U)' (3.32)
Из выражения (3.32) видно, что если имеются ?2;- -< 0, то при устойчивом
движении мы получаем неограниченный снизу спектр. Системы с таким
спектром рассматривались в работах [212-217J.
Явный вид когерентных и стационарных волновых функций приведен в [190J.
§ 4. Излучение заряда в полях волноводного типа
В настоящем параграфе рассмотрим, следуя [230, 2071, излучение заряженной
частицы в волноводе или резонаторе [211J, помещенном во внешнее
стационарное поле.
Если частота волны, распространяющейся в волноводе, достаточно велика, то
приближенно можно описать поведение заряда в волноводе или резонаторе
