Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
задается метрическим тензором ga^-~B (.га, у^), который легко выразить
через структурные константы:
= capcpv (1^)
Форма Киллинга - Картана позволяет весьма просто сформулировать критерий
полупростоты (простоты) алгебры Ли, доказательство которого приведено в
[4 - 7, 10, 15].
12. Критерий Картана. Для того чтобы алгебра Ли X была полупростой,
необходимо и достаточно, чтобы форма В (х, у) была не вырождена, т. е.
3е1 II ?а|3 II ^ 9.
13. Комнактная алгебра Ли. Вещественная подалгебра Y алгебры Ли X
называется компактной, если на У форма Киллинга - Картана отрицательно
определена, т. е. для любых у1, у2 е= У имеет место неравенство
в (г/ы у2) < о.
14. Подалгебра Картана. Картановской подалгеброй полупростой (простои)
алгебры Ли X называется подалгебра Н CZ X, удовлетворяющая условиям:
1) подалгебра Н является максимальной абелевой подалгеброй в X;
2) для любого h е И собственные векторы оператора ad h образуют базис в
алгебре Ли X, рассматриваемой как комплексное векторное пространство.
Можно показать, что в любой полупростой алгебре Ли X существует
картановская подалгебра [1 - 7, 10, 15]. Для вещественных и комплексных
простых алгебр Ли картановские подалгебры найдены в явном виде в работе
[192].
15. Ассоциативная алгебра. Векторное пространство X над полем С
комплексных (или полем В вещественных) чисел, для всех пар элементов
которого, кроме сложения и умножения на числа, определена еще операция
умножения, удовлетворяющая условиям:
1) дистрибутивности: а, Ь, с ?: X, А.'(Е С,
(а + Ь) с - ас Ъс, с {а + Ь) = са -|- сЪ\
(ка) с - к (ас) = с (ка) = к (са);
2) ассоциативности:
(аЪ) с = а (Ьс),
называется ассоциативной алгеброй.
Если размерность векторного пространства конечна, то алгебра X называется
конечномерной, и бесконечномерной - в противном случае.
16. Полная матричная алгебра. Совокупность всех квадратных комплексных
(вещественных) матриц размером п X п образует с обычными Операциями
сложения матриц и умножения матрицы на комплексное число комплексное
(вещественное) пространство М (га, С) (М (га, В)) размерности га2-
299
Если для всех пар элементов М (га, С) определить операцию умножения как
обычное умножение матриц, то М (га, С) становится ассоциативной алгеброй-
Алгебра М (га, С) называется полной матричной алгеброй. Если в алгебр0 М
(га, С) ввести операцию коммутирования матриц [хг, х2] = хгх2 - x2xi для
всех Xj, (га, С), то М (га, С) становится алгеброй Ли.
17. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли. Наименьшая
ассоциативная алгебра U (А), содержащая алгебру Ли X как подалгебру,
называется универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли X. Операция
коммутирования для произвольных элементов х, у ЕЕ X
определяется
в U (X) обычным образом: [х, у] = ху - ух.
Приведем конструкцию универсальной обертывающей алгебры U (X). Пусть {ха}
- генераторы алгебры Ли А; тогда любой элемент igl имеет вид х = хаха,
где ха - комплексные (вещественные) числа. Рассмотрим теперь тензорные
степени векторного пространства X, т. е. тензоры ранга Ni
ОцО>2 • 1 • ОС дт _ _ л J П t А С\
и , N = 0, 1, 2, . . ., оо. (15)
В качестве образующих алгебры U (X), линейные комбинации которых
порождают всю алгебру U (X), рассмотрим все выражения вида
1, х" , х" х" , х" х" х" , . . . , х" х" . . . х" . . . , (16)
* OCi* O&i ОС2* O&i Ota OCg* * 0&1 ОС2 осту ^
являющиеся формальными произведениями генераторов ха ЕЕ X и подчиняющиеся
ассоциативному закону. Будем предполагать, что произведение элементов ха
и Хр таково, что выполняется условие
Vp - Vd = ca(ixr (17)
где с^р - структурные константы алгебры X. Используя произведения
вида
(16) и тензоры (15) соответствующих рангов, определим все элементы и
бесконечномерной алгебры в виде формальных сумм
и = га" + иаха + иа'а'хаха2 + . . . + ' 'а"ха1хаг •••*"*- + ••¦
(18)
Произведение элементов и, v ЕЕ U (X) вида (18) определим так, чтобы в ал-
гебре U (X) выполнялись ассоциативный и дистрибутивный законы, т. е. как
произведение многочленов от некоммутирующих переменных ха,
удовлетворяющих (17).
Разложение (18) элемента и можно сделать однозначным, если считать
aiOs...aw
тензоры и симметризованными.
Можно показать, что представлению Тх алгебры Ли X в пространстве Y
отвечает представление универсальной обертывающей алгебры U (X) такое,
что элементу и е U (X) вида (18) отвечает линейный оператор Ти вида
Т =u" + ц(r)Г + и"'"гГ" т-+...+ ¦¦"Л'г Г ... Г
и ха о*1 *а2 а* a/V
(19)
18. Центр универсальной обертывающей алгебры. Подмножество элементов U
(А), коммутирующее со всеми элементами net/ (А), называется центром Z (U)
универсальной обертывающей алгебры U (А), т. е. z е Z (U),
300
если z е U (X), zu = uz для всех и е U (X). Центр Z (U) является
подалгеброй в U (X).
Можно показать, что в центре Z (U) существует конечное число
полиномиальных образующих Ci, С2, . . Ср таких, что для любого элемента z
<= Z (U) найдется полином от р переменных такой, что z = ZP (Сг, С2,...
. . ., Ср).
