Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
<фь 0, ф2|а> = ехр(- 4-а*а) ехр [(a3a4)w(^)J , (2.7)
где и - унитарная матрица 2-го порядка - является представлением D1'2
группы вращений О (3) SU (2):
з 2 О
О е 2
cos 2 sin. 2
- sin ~2 cos
i JEi.
3 2 0
0 e 2
(2.8)
Формула (2.7) с учетом (2.5) задает производящую функцию, введенную
Швингером [393], для .D-функций (2.4):
J
<фь 0, Ф 21 a> =ехр ( ^"a*a)Xj Xj фг)
X
; = 0 т, m'=-j
X
aj+mai-ma|+m'aXm'
> (/ - m)l (/ + m)l (j - m')\ (/ + m')!
причем
(фь 0, ф2) = Л'Хфи 0- Фг I h m, m'>.
Волновой пакет типа (2.5) возникает также при рассмотрении движения
заряда в электромагнитном поле [71].
Используя (2.5) и (2.4), легко найти закон преобразования когерентных
состояний при вращениях, т. е. при действии на них оператора правого
сдвига на группе SU (2):
^(ф,.е.ф2) = ехр (i Ф2 /3) ехр (I 0 /х) ехр (г Фх /3). (2.9)
Записывая вращение (Фь 0, Ф2) с помощью параметров Коли - Клейна (а, [),
у, 8):
0 .Ф1+-Ю 0 .Фг^Ф,
a = cos -у е 2 ; у = i sin -у е 2 ;
Г, 4 ^ А • Ф1ФФ2
о • • 6 1 -о . X 6 "г 7,-
p = isin-2-e 2 , о = cos-g-e 2 ,
находим
^(a.P.7,6) |а1> "2> a3> a4> = I аа1 - Фа2. + Йа2> а3> а4>-
(2.10а)
Аналогичным образом находим для левого сдвига Т на группе SU{ 2)
^(а,р,т,б)| 0-22 ес3, ос4^ ~ | ос^, ос2, бос3 iya4, ?(Зос3 -f-
осос4^,
_ (2.106) где Т = ехр {i(r)273} ехр {10/4} ехр {1ФХ73}.
283
Отметим, Что законы преобразования (2.10а) и (2.106) когерентных
состояний ) а) (2.5) при конечных вращениях остаются справедливыми^при
любом выборе коэффициентов {С}}.
Инфинитезимальные операторы левых и правых сдвигов, от-
вечающие операторам углового момента в подвижной и неподвижной по
отношению к волчку системах, в | а)-нредставлении имеют вид
Т 1 д д \ • Т 1 ( д I д \
•
/l-T(a2^ + aid' /2 - т(-а2^ + а1^г) '
т 1 I д I д \ ¦
/з- -2" (- а1^Г+а2^) '
Г 1 / 9 I д \ ¦
J 9
^•3
/.з --
а4^-а 3 -
да.
а4-
2 ( Из да3 1 <Уа4
Операторы /г и /г подчиняются коммутационным соотношениям
[*/?, ,/у] = iSijftJid ki [Jn *4] " 0.
Средние значения этих операторов, вычисленные с помощью когерентных
состояний (2.5), даются выражениями [392]
J1 - - (ctia2 с^Иг) J^-j^
/2 -
I(ащ*
a*a2)
- I "2
12 _1_
xh J2(2K)
¦щг;
'/-• /а(2Я)
7i(2>.)
(2.11)
/¦>
/|a |2 I a |2\ Г I a.t 1" ~Ь | 12 I1'* Y2 (2A.)
11 1 214 kp+ki2 J h(2i)'
где Ji - <a | Ji | a>, а и /2 - модифицированные функции Бесселя.
Аналогичные выражения для <a J .Г* | <х> получаем из (2.11) с помощью
замены ->¦ а3, а2 ->¦ а4.
При больших значениях а, )а|^>1, т. е. в классическом пределе, используя
асимптотику функции Бесселя [88], находим
•^1КЛ
кл : JЯНП '
1 . * о- (ai"2
cti a2
)Г1а" Ч К
"з l2 + 1 12
I2 + I a2 I2 J ' i . * * . Г I a3 I2 + I
ai I2 1'/".
a-^)['T.TF+K|, J •
(2.12)
_L/|" 12 _ 1 a П Г | "3 P + 1 сха |а 1'/
2 (К I la2| ) [ I (Xj I* + | Оя 1 (r) J
и аналогичным образом для <a | 71 a>.
Скалярное произведение когерентных состояний (2.5) с Cj = 1 выражается
через функцию Бесселя мнимого аргумента
<P|a)=8n2exp(-a*-a + ^)Af4
(2.13)
284
где
Л = [(Pi'tt! + pfo) (PJ"3 + рг"4)],/г. (2.14)
Выражение (2.13) показывает, что когерентные состояния (2.5) не
ортогональны, хотя и образуют полную систему.
Волновой функции <ф1, 0, ср2 | /у, отвечающей состоянию | fy в
представлении углов Эйлера, в представлении когерентных состояний
отвечает амплитуда
2Я Я 2Я
<"|/> = J J J <"|ф1, 0, ф2> <фх, о, ф21/> <%sin0d0%2, (2.15)
ООО
где <а | фх, 0, ф2> дается (2.7). Преобразование (2.15) отображает
пространство состояний волчка, т. е. гильбертово пространство L2 функций
на группе SU (2) / (ф4, 0, ф2), интегрируемых с квадратом: || / ||2 = Щ |
/* (ф15 0, ф2) |2 аДр! sin 0 dQ йф2, в пространство аналитических функций
F (а) от четырех комплексных переменных а; : F (а) = ехр {V2 | а |2} <а |
/>, интегрируемых с квадратом с весом_е-1"1г, которое рассматривалось
Баргманом [64].
Обозначим образ L2 в через f. Тогда ,f" получается из f с помощью
оператора проектирования Р вида
• Ф j Ф | Ф i Ф j
PF (а) = J F [ще * 2, а2е 2, а3е 2, а4е 2 j ^ • (2-16)
В этом случае преобразование (2.15) имеет единственный образ в $f. По
образу F (а) такому, что PF (а) = F (а), находим состояние волчка:
<фь о, ф21 /> = 8^ j) <ф1. 0. ф21 "> Р (а) (1 + 2<2) ехр (- ~ а*а) ,
(2.17)
где
4
da = Ц [d (Re сц) d (Тш aj)J;
i=l
0 _i Т'+Фг 0 i Ti+фг
Q - sin -^-e 2 0^4 -f- cos -^-e 2 ащз -f-
Q Ф1+Ф2 g j ф,-фг
-fcos-g-6 2 a2a4 - sin-g-i? 2 a2a3. (2.18)
Формула (2.17) является обращением интегрального преобразования (2.15)
[392].
Рассмотрим теперь другие волновые пакеты, которые играют роль
производящих функций, и получим различные интегральные представления для
d-функций, используемые в дальнейшем. Учитывая (2.5) и (2.7), а также
(2.4) и (2.8), находим интегральное
285
представление для d-функции вида
dm, т' (0) = (2ni)"4 [(/ + т)\ (/ - т)! (/ + тп)\ (/ - т'у.]1!' х
(Г) 1 1 ц \
С ехр \у сцгщ + -=- щсс, - у а2Оз dal Лщ, da3 dat
-5 ' <2Д9>
где г]/| = sin (0/2), 1/| = cos (0/2). Интегрирование в (2.19)
