Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем - Малкин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
фупкции носит осциллирующий характер:
dm, т- (0) " ]/ +1 [4 (frf 4- mm'l2) - (т, + m'f ?4] -'/* cos ф (/, m,
m).
(3.16)
Аналогичная формула приведена в работе [394], где находилась методом ВКБ
волновая функция сферического волчка. Фаза ф (j, т, т') была подробно
исследована в работах [391, 298]. При / -*¦ оо формула (3.16) приобретает
простой вид:
dm, m' (6) ~ cos, [(/ + +) 0 - (т' - т) -|-----------------. (3.17)
В [391] показано, что при фиксированном / фаза ф (/, т, т), определенная
внутри эллипса (3.11), испытывает скачки при переходе через отрезки
прямых. При г]2 Д> 1 эти прямые имеют вид т - т (г]2 - 1)/(г]2 + 1), т' =
-т (ц2 4- 1)/(П2 - !)•
Рассмотрим теперь асимптотику d-функции при условиях
0*1, л << 1> /Л2 ~ 1> I2 ~ 1- (3-18)
В этом случае эллипс (3.11) будет сильно вытянут вдоль оси М. Для
получения асимптотики d-функции как внутри, так и вне конуса (3.11) при
выполнении условий (3.18) удобно использовать интегральное представление
(2.24). Выполняя в (2.24) интегрирование по а и Ъ и заменяя с на г]/|2с,
получаем интегральное пред-
10* 291
ставление вида
З-т
<-<в> - ['''(2",)"§('¦+ ?¦сТ х
х('-^Гт?"- <3-19>
где
<3-2">
и величина р (/ - та', г]2/|2) равна
'3-21>
Величину b (/ - тя, т]2/|2) можно записать в виде биномиального
распределения (Nl/n\ (N - я)!) pnqN~n, где р = г]2/|2, N = = 2/. Условия
(3.18) означают, что р -*¦ О, N -у оо и 7Vp = const, и тогда, как
известно [399], биномиальное распределение переходит в распределение
Пуассона Р (п) = (Np)n ехр (-Np)/n\:
"(/-"¦•?) ^mstzssi=MiSL^ (3.22)
Величина p (/ - тя', r]2/|2) при выполнении (3.18) равна (2/т]2/|2)5_т7()
- тя')!. Подынтегральное выражение (3.19) при условии (3.18) принимает
вид
(4 + Т2- С); Ш (4 - TIT с)'+т ""(! + c)hm ехр (- 2j -J c\
' ^ ' Ч, > J-+00, Tl->0, jTla-'l \ ^
/
(3.23)
и совпадает с производящей функцией для полиномов Лагерра [88].
Таким образом, (3.19), с учетом (3.22) и (3.23), позволяет выразить
асимптотику J-функции в пуассоновом пределе через полиномы Лагерра [392]:
(e>"exp(-^)[Mf(") ¦ Ь^(2ф,
(3.24)
где j '^> 1; г) 1; /г]2 ~ 1" S2 ~ 1- Вне эллипса (3.12), расположенного
вблизи оси М, полином Лагерра, входящий в (3.24), не имеет нулей.
Рассмотренные асимптотики сохраняют свой характер в случае, если
плоскость / = const, j -*¦ оо заменить на другую плоскость при условии,
что сечение пирамиды / ]> 0, | т, | <С /, \т' | < < / другой плоскостью
является ограниченной областью.
Перейдем теперь к нахождению асимптотики с?-функции при условии, что
квантовые числа /, т., т! принадлежат некоторому двумерному некомпактному
многообразию.
292
Пусть
) > 1; л << 1; S-1; л2 (/ + т') = const. (3.25)
Очевидно, что плоскость г]2 (/ + тп') = const параллельна грани пирамиды
и ее пересечение с пирамидой (/ Д> 0; | тп | ¦< Д | тп' | <
< /) является неограниченной областью. Сечение конуса (3.11) плоскостью
г]2 (/ + тп') = с при условиях (3.25) является параболой, уравнение
которой при малых tj в проекции на плоскость тп, тп' принимает вид
M--Wsr<M'+yicr+WF- <3'26)
Для нахождения асимптотики d-функции при условии (3.25) используем снова
интегральное представление (2.24). Интегрируя в (2.24) по Ъ, находим
< (е) - <2*0-1-(/(_Lp х
X Д1 - Ч")'" -тг - • (3-27)
Заменяя (1 - т)а)У+т, ввиду условия (3.25), на ехр [-ц (/ + тп )а] и
используя разложение вида
ОО
ехр (ах 4- Ру + уху) = ^ сРахРуч,
Р> 9=0
где
Г Р + <7 + |Р - ?| |1_1 Р-9+|Р~9| 9-p-Hg-Pl p+g-|p-g|
Cpg - 2 !J a 2 p 2 Y 2 x
r|p-g| / сф\
Л Tj p+q-|p-g| ^ -j ,
2
находим асимптотику d-функции (тп' Д> тп):
dm, m' (0) " ехр (- /г]2) [((/+Г')!(| -т')! J7, Лт"т?(tm)т(tm) [л2 (у + и*)].
(3.28)
Так как конус (3.11) разделяет области, в которых асимптотика d-функции
носит различный характер, то, как следует из (3.28), нули полиномов
Лагерра лежит внутри параболы (3.26). Используя теперь известное
асимптотическое выражение для полиномов Лагерра [88], из (3.28) получаем
dL,m' (6) ~ (п]'ч)~>1г cos [/0 - (тп' - тп) я/2 - я/4]. (3.29)
В силу свойств симметрии d-функции асимптотика, рассмотренная в плоскости
г]2 (j 4- тп) = const, переносится на семейство
293
плоскостей г]2 (j ± пг') - const. ц2 (j ± пг) = const, параллельных
граням пирамиды.
Вигнер показал [320], что асимптотикой квадрата модуля d-функции с пг' =/
при /3^>1 является нормальное распределение
I ; (6) |2 ~ (я/ sin2 0)_1/2 ехр [ -
(т - j cos 0)2 j sin2 0
(3.30)
со средним значением проекции момента на ось z т = / cos 0. Плоскость / =
пг', в которойДассматриваем асимптотику d-функции (3.30), совпадает с
гранью пирамиды, а прямая, вдоль которой конус (3.11) касается этой
грани, определяет средние значения да = / cos 0. Этот результат Вигнера
можно связать с другой асимптотикой биномиального распределения] (3.20).
Действительно, асимптотика d-функции (3.28) в плоскости ц2 (/ + пг') = =
const была получена при условии (3.25), когда ц ->0 и биномиальное
распределение Ъ (п, р) можно заменить распределением Пуассона Р (n) =
