Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
проанализировано с точки зрения его физического смысла.
В следующей главе будут рассмотрены частные случаи ньютоновской газовой
динамики на основе уравнений, выве-. денных в § 6.2 и 6.4. Так как в этих
уравнениях уже произведена замена с на , эти частные задачи не смогут
пролить дополнительного света на другие возможные типы приближений к
уравнениям Эйнштейна. Мы имеем в виду решения уравнений (6.103), в
которых тяготение не учитывается, хотя абсолютная скорость не считается
бесконечной. Такие задачи, как гравитационные волны или газовая динамика
в специальной теории относительности, мы рассматривать не будем.
Ограничимся лишь указанием на то, что эти задачи существуют и поддаются
исследованию [3].
ГЛАВА VII
Частные решения уравнений ньютоновской газодинамики
Результаты предыдущей главы указывают путь для систематической
классификации типов движений газов в нькы тоновской теории. Можно
составить перечень функций ф, дающих с помощью уравнений (6.210), (6.421)
или (6.444) - (6.446) решение уравнений движения и непрерывности для
движущегося газа. Среди этих функций ф будут такие, которые соответствуют
адиабатическим или изоэнтропическим течениям; подкласс функций ф,
соответствующих неадиабатическим движениям, будет определяться уравнением
(3.208), описывающим изменение энтропии единицы массы газа. Наконец,
функции ф можно классифицировать в соответствии с тем, удовлетворяют или
не удовлетворяют они предписанным граничным условиям различных типов.
Однако составление такого перечня само по себе потребовало бы отдельной
книги.
§ 7.1. Одномерное движение
Наиболее простым движением газа является такое, при котором скорость газа
параллельна заданной прямой. Поэтому наш перечень должен открываться
такого рода движением. Пусть ось Хх выбрана параллельно оси движения;
расстояние вдоль этой оси обозначим через X. Тогда, по определению, все
переменные, входящие в уравнения (6.209) и (6.210), будут функциями лишь
X и Т. Отсюда сразу получаем U2 = 0, 03 = 0, U1 = U. Условие (6.209)
может быть выполнено, если
X = фх7-/фхх;
(7.101)
184
Глава VII. Частные решения уравнений
индексы обозначают частные производные по X и Т. В тех же самых
обозначениях уравнения (6.210) принимают вид
U= tyxrltyxx' (7.102)
р = -Фхх* (7-ЮЗ)
р = -'^тт + ЧхНУхх- (7.104)
В этих формулах гравитационным самопритяжением газа мы пренебрегли.
Однако (6.421) показывает, что учет тяготения оставляет (7.102) и (7.103)
неизменными, но (7.104) заменяется на
Р=- - $ТТ + Цхт№хх - 2itG<1>x. (7.105)
Таким образом, для построения перечня можно использовать (7.102),
(7.103) и (7.105) и выделить подкласс движений, у которых мы
пренебрегаем гравитационным взаимо-
действием, просто опустив члены, имеющие множитель G.
Линейное волновое движение. Этот термин будет использоваться для описания
любого течения газа, скорость которого является линейной функцией лишь
одной пространственной переменной. В одномерном случае простейшего
течения этого типа скорость определяется выражением
t/ = ("+l) (4+7^1-). (7.106)
где п - безразмерная величина (число), a q - константа, имеющая
размерность скорости. Удобнее всего начать перечень анализом именно таких
течений. Введя обозначение р, = фх и подставив (7.106) в (7.102),
получаем для р, уравнение первого порядка в частных производных
Рт--(-("+ + п _[Л')
откуда
р,г=фх = - /|(-у +?) Т где / - произвольная функция. Отсюда следует, что
ф = - тп+1 F | -(- ?) 7,-п | - J { J* Р (Т) dT^ dT, (7.107)
где Р - произвольная функция Т и
Р= j f^^-q^T-n]^T-{n+l)dX, (7.108)
§ 7.1. Одномерное движение
причем при интегрировании Т считается постоянным. Вводя новую переменную
С посредством
C = + (7.109)
записываем уравнение (7.108) в виде
F = //(С) Л.
С помощью (7.109) находим частные производные С:
- - (га+1) XT'(л+2) - nqT~(л+1), -Jpr = (п + 1) {(л + 2) XT-(л+3) + nqT-
(л+2)},
ft гг~ (л+0 (п _1_ 1 \ у' - (л+2)
дХ ~~ ' дХдТ~~ \пм 1
а из (7.107) - частные производные ф
фгг = _"(" + 1) 7м F-{ 2 (д + 1)-|^ +
I -р дК ) 'рПц? -рп+i ( д? \2 ^
+ Г1г1г^-Г Ur) F"'
, К о
$тх - ~gf г со
С помощью этих результатов уравнения (7.102). (7.103) и (7.105) принимают
вид
?/=("+1) кг
¦р-(п +1) р
П -f- 1 "•
р = Р - п (и + 1) Г"-1 С2 (/70с - 2itG/v (7. НО)
Очевидно, физически допустим лишь случай р > 0, т. е. F должно
удовлетворять условию Fсс > 0 для всех значений С в области пространства,
занимаемой движущимся газом в соответствующие моменты времени; кроме
того, должно быть р > 0. Поэтому F, Р и п необходимо выбрать так, чтобы
эти требования выполнялись.
186
Глава VII. Частные решения уравнений
В качестве следующего шага с помощью (3.208) вычислим скорость изменения
энтропии. Оператор равен теперь
из (7.106) и (7.109) легко показать, что
Отсюда с учетом выражений (7.110) для р и р получаем из (3.208)
dS _ п + 1 Г ТРт I р__________
dT ~ рТ L п+1 '
_ " {" _ 1 + т (й + 1)} Г-1 С2 (/70с - 2*0^. (7.111)
Первые два члена в квадратных скобках являются функциями лишь Т;
