Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
предположения. Согласно первому, четыре функции также не содержат членов
порядка с2. Следствия из этого предположения будут получены в этом и
следующих двух
дх1 дхт
в то время как тремя уравнениями для р являются
Следовательно,
160
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
параграфах. Но имеется и другая возможность, состоящая в том, чтоф, фр
ф2, ф3 допускается присутствие членов порядка с1, которые потом
исключаются при помощи космологической постоянной, как будет показано в §
6.5.
Если в правой части уравнений (6.105) члены порядка с2 отсутствуют и
давление и плотность в ньютоновском приближении остаются конечными, то
очевидно, что космологическая постоянная должна быть выбрана таким
образом, чтобы при с-><?? пределы как Л/х, так и Л/хс2 были бы конечными
(или равными нулю). Для этого следует предположить, что Л содержит
максимум множитель 1/с2, так что
lim - = Х, lim -^- = 0, (6.201)
где X - конечная постоянная. Эти условия позволяют определить малую
космологическую постоянную. Далее, если пренебречь членами порядка 1/с2,
то и4=1 в (6.106) и (и1, и2, и3) становятся соответственно компонентами
ньютоновской скорости жидкости (Uv U2, U3). Координаты (х4, х1, х2, х3)
вырождаются в ньютоновские координаты (Г, Xv Х2, Х3), s совпадает с Тих4.
Наконец, заменяя с на <?Р в (6.105) и опуская все члены порядка l/^2,
имеем
oil U - - д2ф"
дХ^Хп'
*и' = тВт' ('=Г2. 3),
с"2ф . <52ф" . с"2ф
дТ2 р = - угф.
дХ2
(6.202)
(6.203)
Z+K (6.204,
(6.205)
Отметим, что в десяти уравнениях (6.202) - (6.205) р и р обозначают
ньютоновские плотность и давление соответственно.
Исключение р, Uv U2, U3 из уравнений (6.202), (6.203) и (6.205) дает три
уравнения:
cJdXn - ( дХ^дТ ' дХ^дТ )/ (6-206)
§ 6.2. Ньютоновская газовая динамика
161
Далее, исключив р, р, Uv U2, U3 из (6.203) - (6.205), получаем
1 / <?2ф \2 д2ф2 _ 1 / д2ф \2
У2ф \ дХх дТ ) дХ\ дХ\ У2ф \ дХ2 дТ )
, , а2ф, 1 / <12ф \2
г2
дХ% дХ\ v "Лз
й2ф, . <12ф2
дХ22 дХ\
1_ / дЦ у .
2ф \ дХ3 дТ j "Г
(6.207)
Уравнения (6.206) и (6.207) являются условиями совместности для десяти
уравнений (6.202) - (6.205). Если для удобства обозначить три выражения в
(6.207) через Ег, Е2, Е3 соответственно, а их общее значение через х- т°
ду_ _ dEt __ д j 1 / д2ф \2)
I - dxt \ v2^ \ dXtdT)
dXi дХ, , д
дХт
( дХ^дХг) + дХя ( dX"dXt ) * (6'208)
где суммирование по повторяющимся индексам не производится. Отсюда при
помощи (6.206)
дХ, Li dXi ( У2ф \дХ, дТ дХ^т)]' l°-zual i = i
и, следовательно, % определяется через ф.
Решение (6.202) - (6.205) с использованием (6.207) и выражения для х дают
и1 - ~Щ"дХ~дТ' (/==1> 2' 3), р = - У2ф, (6.210)
д2Ф ,
P = - ^f2+T-
Эти уравнения показывают, что космологическая постоянная исключается из
окончательного результата вследствие предположения об отсутствии больших
по величине членов в ф, фР ф2, ф3. Такой же результат, конечно, можно
получить, если бы приравнять нулю космологическую постоянную в уравнениях
Эйнштейна в их первоначальном виде.
И Г. Мак-Витти
162
Глава VI. Приближение к уравнениям Пйнштейна
Читатель может легко проверить прямой подстановкой с использованием
(6.209), что полученные выражения для р, р и трех компонент Ut
тождественно удовлетворяют уравнениям (3.201) и (3.202) для всех ф при
условии, что компоненты внешней силы Ft равны нулю. Так как р в общем
случае является функцией Т и (Х^, Х2, Х3), то выражения (6.210) являются
зависящими от одной неопределенной функции ф решениями классических
уравнений движения газа (сжимаемой жидкости), когда единственной
действующей силой является градиент давления.
Характерной чертой задачи является неопределенность, поскольку, как было
показано в § 3.2, четыре уравнения (3.201) и (3.202) не могут определить
все пять неизвестных. Величина скорости по существу ничем не ограничена.
То, что р и ф в (6.210) связаны уравнением Пуассона, еще не означает, что
гравитационное самопритяжение газа ограничивает его движение. Если бы это
было так, то внешние силы Ft не могли бы равняться нулю; в том
приближении, с которым мы имеем дело, потенциал тяготения ф входит лишь
как дополнительная функция в решение уравнений гидродинамики.
Уравнение (6.210) показывает, что
(>лут) =°- (6.211)
олт ол.1
что ограничивает возможные типы движения. Это ограничение является
следствием предположения об ортогональности метрики пространства-времени
и использования уравнений Эйнштейна. Однако уравнения ^(6.210) наводят на
мысль, что в классической теории могло бы быть получено решение более
общего типа [1]. В самом деле можно нойти формальное решение уравнения
непрерывности ньютоновской теории
ъ . у дт
дТ ^ дХ, ~~ '
/=1
положив
Р = (* = 1.2,3),
(6.212)
§ 6.2. Ньютоновская газовая динамика
163
где (Av А2, Л3) - три функции от (Т, Хх, Х2, Х3), так что
Три уравнения движения (3.203) тогда преобразуются так:
Таким образом, (6.212), (6.213) и (6.214) определили бы плотность и
компоненты скорости и силы, если Av А2, А3 и р - заданные функции.
