Общая теория относительности и космология - Мак-Витти Г.К.
Скачать (прямая ссылка):
(6.439)
так что две из трех функций ш, (?-|-С) и ф связаны с третьей. Таким
образом четыре уравнения (6.435) - (6.438) эквивалентны (6.439) совместно
с уравнениями
p = _V2f (6.440)
Р - - $тт + wrr Ч~ ~р- + 4тсО j (? + Qrr +
+ ~(^ + С)г + }^} + ^. (6-441)
4=*- (6.442)
176
Г лава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
Функции (1) и (S + C) можно исключить из (6.441), используя (6.439).
Пусть
/(г, 7) - <j^ /у2ф, Л
" / (6-443) Q = 5 + C, J
так что (6.439) принимает вид
- 4- о)г = / - 4tiG (я *
откуда
где интегрирование производится при постоянном Т, а -уХ является
постоянной интегрирования. Далее,
,1 Id (югг) с Г (I 4 кО , 9\ , ,
*rr + T<"r = T-^-L = 2j (7 - ^)dr+.
-f- / - 4tcGi|j2 - 4icG ^ Qrr -|- - - X.
Итак, окончательно уравнения (6.440) - (6.442) принимают вид
P = _V2f (6.444)
Р = ~ U + 2 / (7 - ~ ф?) dr + / - 2*0"& (6.445)
^ = -фгГ/У2ф. (6.446)
Эти уравнения - результат сведения уравнений Эйнштейна к ньютоновскому
приближению для случая сферической симметрии. Так как ф в общем случае
может быть функцией как г, так и G, градиент плотности и давления явно
входит в эти формулы, и движение может быть нестационарным (q может быть
явной функцией Т).
Функцию ф можно интерпретировать при помощи (3.202) и (3.201); первое
является уравнением непрерывности, которое для случая сферической
симметрии принимает вид
J7 + 7r|r(r2W) = °, (6.447)
§ 6.4. Второе приближение
177
и, в силу (6.440) - (6.442), тождественно удовлетворяется для любых
функций (J). Уравнение движения будет
дЧ , " дЯ _ 1 др | р
дТ дг ~ р дг "т~ '
где F - добавочная сила на единицу массы жидкости, (кроме давления). С
учетом уравнения непрерывности уравнение движения может быть написано в
виде
~~^Y~ "Ь (Р^2 P)^r~f - • (6-448)
Из (6.440) - (6.442) следует, что для произвольных функций ф и (S-f-C) и
для любых конечных значений X
F = 4icO-|J-, (6.449)
откуда следует, что эта сила является гравитационным самопритяжением
жидкости.
Если бы мы попытались учесть члены более высокого порядка (скажем, у.3) в
точных уравнениях (6.425) - (6.428), мы получили бы снова формулы (6.444)
- (6.446). Это происходит потому, что члены (6.445), содержащие G,
возникают из тех членов уравнений (6.426) и (6.427), которые умножаются
на с2. Таким образом, более высокое приближение содержало бы члены,
имеющие множитель с2хп с п > 1. Но этот множитель обращается в нуль при
замене с на ?f, и добавочные члены в ньютоновском приближении исчезают.
§ 6.5. Космологическая постоянная как силовой параметр [2]
В § 6.2 указывалось, что существует другой метод перехода к ньютоновской
теории, и мы сейчас используем его для случая сферической симметрии.
Космологическую постоянную запишем в виде суммы двух членов, а именно
Л - W^Ag-j-Aj,
где хс2А0 - "большой член", a Aj - "малая11 космологическая постоянная,
упоминавшаяся выше. В предыдущем параграфе мы встречались со случаем Л0 =
0; как было показано, величина Aj давала в ньютоновской теории
тривиальный
12 Г. Мак-Витти
178
Глава VI. Приближение к уравнениям Эйнштейна
эффект. В этом параграфе можно Aj опустить. Остаю-
щаяся "большая" космологическая постоянная может быть скомпенсирована,
если принять, что функция ев в (6.429) имеет порядок с2. Полагая
со - шс2, А -чс2Л0, (6.501)
мы видим, что члены 2шг/г-\-А в (6.432) и ч(свгг~]-а)г/г)~)-Л в (6.433)
по порядку величины в с2 раз больше остальных членов этих уравнений.
Следовательно, эти большие члены должны тождественно обращаться в нуль,
если возможно
ньютоновское приближение. Используя св и Л0 (из 6.501), получаем, что
у шг -А0 - 0, (Brr-j-y -}- А0 = 0. (6.502)
Оба эти уравнения удовлетворяются при
ш=-|Л/2 (6.503)
независимо от значений плотности, давления и 4-вектора скорости
распределения материи. Подставляя (6.501) и (6.502) в (6.431) - (6.434) и
приравнивая нулю совокупность членов, содержащих множитель 1/с2, получаем
ньютоновское приближение
р = - У2ф - Л0, pq2+р = - Ьт + 87с0 (лоФ+-у- - 4 - 4 'АФг) >
р = - фгг + 8тсО |лоф 2ГГ + -^; 2r + y (гЛ0 +фг)2}>
(6.504)
р q = br>
где Q = Вводя обозначение
'о + Ло
и исключая р, р, q из уравнений (6.504), получаем условие совместности:
Q" -1 Qr = $ - 2Л0гфг -1 А20Л (6.505)
§ 6.5. Космологическая постоянная как силовой параметр 179
Вычисляя комбинацию Qrr-\-Qr/r тем же способом, как было сделано в § 6.4
(б), и подставляя результат в формулу для р (6.504), получаем, что четыре
уравнения (6.504) эквивалентны (6.505) совместно с
р = - У2ф - Л0, (6.506)
Р = ~ Фгг + 2 / (Jу Фг) dr +/0 -
- 2*0$ - 4*ОА0 (2ф + г^Г +1 Л0г2), (6.507)
<6-508)
Уравнение непрерывности (6.447), которое тождественно удовлетворяется
выражениями (6.504) и уравнением движения (6.448), приводит к выражению
F = 4uO(|t + A0r). (6.509)
Если вместо ф ввести новую функцию ф0 = ф -f- Л0г2, урав-
нение (6.506) примет вид р =- ^2ф0. Следовательно, ф0 может быть названо
потенциалом тяготения, создаваемым распределением материи с плотностью р,
поскольку р и ф0 свя" заны уравнением Пуассона. Теперь мы можем
