Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
диэлектрической проницаемости е*. Эта диэлектрическая проницаемость для
больших р равна е0, для малых р равна е". В переходной области (для
типичных кристаллов, в которых экситоны Ванье наблюдаются при расстояниях
меньше 50 атомных) зависимость е* от р сравнительно сложна. В этом случае
возможен новый теоретический подход. Поляризующее действие электронов на
окружающую среду учитывается введением новых квазичастиц, поляронов, и
потом экситон строится из поляронов. К поляронам мы обратимся только в
гл. VIII. (ср. Хакен [39]).
Введение эффективной диэлектрической проницаемости преобразует (45.8) в
выражение вида
Р'=(Е-Ео-Ео-ЕкЫ) F. (45.10)
Энергия связи в (45.9), таким образом, уменьшилась на множитель 1/е*.
Суммируя, мы можем так интерпретировать результаты. При возбуждении
электронов из валентной зоны в зону проводимости одноэлектронное
приближение зонной модели не учитывает кулоновского взаимодействия между
возбужденными электронами и дырками, оставшимися в валентной зоне. Если
мы сначала ограничимся переходами при сохраняющемся А-векторе электрона,
а значит, и при АТ=0 для экситонов, то эта модель приводит к спектру,
сходному со спектром возбуждения водорода с граничной энергией Eg- Для
непрямых переходов (Кф 0) появляется дополнительный вклад в энергию. Для
малых К она может быть описана, согласно (45.9), как кинетическая энергия
центра тяжести экситона. Однако во всех случаях, в которых существенны
непрямые переходы экситонов, эта интерпретация оказывается непригодной.
Непрямые переходы делаются существенными, когда экстремумы зоны
проводимости и валентной зоны лежат при разных значениях ft-вектора.
Тогда выражение (45.6) делается неправильным и (45.9) требует поправки в
двух отношениях. По-
ЭКСИТОНЫ ФРЕНКЕЛЯ
18У
следний член имеет сложный вид, относительно которого ничего нельзя
сказать в общем виде. Предпоследний член (Ридберга) должен быть изменен,
по крайней мере, введением эффективной массы, зависящей от К.
Экситонные состояния не могут быть введены в энергетическую схему зонной
модели, так как зонная модель описывает только одноэлектронные состояния.
Можно только, в дополнение к уравнению (45.9), дать диаграмму Еп(К)- Нам
это в дальнейшем не понадобится.
§ 46. Экситоны Френкеля
Экситон Ванье, как граничный случай слабой электроннодырочной связи,
приводит к модели непрерывной среды, где электрон и дырка движутся в
однородном диэлектрике. Противоположным граничным случаем является
атомная модель, в которой электрон и дырка локализованы в одном и том же
месте решетки (экситон Френкеля). В этом случае разумнее говорить о
возбужденных состояниях отдельных атомов решетки, не рассматривая зонную
модель. Важнейшим свойством, общим для экситона Френкеля и экситона
Ванье, является возможность переноса энергии возбуждения из одного места
решетки в другое, т. е. движение экситона в решетке. Ограничимся кратким
обсуждением граничного случая экситона Френкеля.
В детерминанте Слэтера возбужденного состояния мы используем по мере
надобности либо функции Ванье, либо непосредственно атомные функции.
Рассмотрим переход в точке решетки 0 из основного состояния 0 в
возбужденное состояние 1. Тогда матричные элементы (44.4) будут
<01, КО\Н \ 01, KO>=E0 + ^Yu{WAk)-W0(k-K)) +
k
+ 28,<10, O0|g|O0, 10> -<10, О0|g| 10, О0> +
+ 2 e'**{26,<10, О/?ЫО0, 1/?>}-
- <10, 0/?|g| \R, О0>. (46.1)
При этом мы опять положили ег1\ге - rh \ равным g. В сумме по решетке
(предпоследняя и последняя строка (46.1)) второй член является
кулоновским членом, который описывает взаимодействие между облаками
заряда aj(r)ax(r-R) и а" (г-R)a0(r). Эффективный заряд этих образований
задается перекрытием участвующих волновых функций и, как и волновые
функции, экспоненциально убывает с возрастающим R. Поэтому
соответствующий член экспоненциально убывает при возрастании R. Первый
член в сумме по решетке появляется только для синглетных состоя-
190 возбуждения в полупроводниках и изоляторах fm. VII
ний. Он описывает кулоновское взаимодействие между облаками заряда
al(r)a0(r) и aj(г-R)a1(r-R). Действующий заряд этого облака не меняется с
расстоянием R, это взаимодействие здесь обусловлено мультипольными
членами и не убывает экспоненциально с R. Наглядно этот член описывает
перемещение энергии возбуждения от места решетки О к месту R, т. е. как
раз вышеупомянутое перемещение экситона. Условия для возникновения
экситонов Френкеля осуществляются прежде всего в кристаллах с большой
постоянной решетки и малой диэлектрической проницаемостью, например в
ионных кристаллах и в решетках благородных газов.
§ 47. Экситоны как элементарные возбуждения
При обсуждении проблемы экситонов мы до сих пор не ставили вопрос о том,
в какой мере экситоны могут рассматриваться как элементарные возбуждения
и, в частности, являются ли эти возбуждения пар фермионами или бозонами.
Этот вопрос мы исследуем в представлении чисел заполнения. Для этого мы
