Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
его не принимать во внимание. По
Рис. 58. Нормальные процессы (kT =k-\-q) и процессы переброса^' = А+д4-
/Ст)вбрил-люэновской зоне плоской гексагональной решетки.
198 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 1гл. VIU
теории возмущений Дирака вероятность перехода будет (".золотое правило")
W (а е) = Ц- 1<е} Hel.ph | а> |* б (Ее - Еа). (49.10)
Начальное "состояние^\а> и конечное^состояние |е> мы будем
характеризовать числами заполнения n.i+g и п* электронных состояний,
участвующих в переходах, и числами tiq, ti-q фононных состояний: \
\ ftk + qtlqt H-q^- (49.11)
Сначала рассмотрим переход с поглощением фонона, следовательно, применим
оператор ct+qcAaq к (49.11). Тогда, использовав (А.15) и (А.23), получим
<п*+д + 1, пя- 1; nq - 1 \c*+qc*aq\nk+q, nk\ nq> =
= j/(l - nk+q)nknq, (49.12)
Ee - Ea = E(k + q) - E (k) - haq
для случая, когда пЛ - 1 и n:i+q = 0. В противном случае матричный
элемент исчезает. Для переходов с испусканием фононов соответственно
следует:
K.f^k + q 1 tl - q Н" 1 | Ca + ^CkCL-q Пь\ П-щУ =
= ]/ (! -л*+,)л*(л_, + 1), 4q п. Ee-Ea = E(k + q)-E(k) + imq
при том же условии, что пя - 1, nk+q = 0. Вместе мы получаем
W (k-^k + q) = ^\Mkq |2(1 -nk+q) nk{nqb(E{Jt + q) -
- Е (k) - ha4) + {n-q + l)b(E (k + q) - E (k) + ho>q)\. (49.14)
В выражениях от (49.12) до (49.14) мы записывали множитель (1 -П/г+д),
ХОТЯ При дополнительных условиях rik = 1, tlk+q~0 он равен единице.
Множитель этот существен,^когда мы хотим вычислить вероятность перехода
не из одного занятого в одно свободное состояние, но рассматриваем
большое число состояний, которые заняты с некоторой определенной
вероятностью. Тогда все tik, nk+q, tiq, ti-q в (49.14) надой заменить их
среднестатистическими значениями.
Если системы электронов и фононов до перехода находятся в равновесии, то
эти средние значения определяются распределениями Ферми и Бозе. Мы
вернемся к этому при вычислении числа переходов по уравнению Больцмана.
Предположение (49.1) не является единственно возможным.
(49.1) описывает недеформируемые ионы, которые колеблются
§49]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ
199
вокруг своих положений равновесия. Несомненно, что электронные
оболочки ионов при колебаниях деформируются. Предполо-
жение, включающее решение с учетом этой деформации, может быть получено
из приближения непрерывности для колебаний решетки. В выражении для
потенциала взаимодействия V (rt -
- Rna - Sna) мы заменим по (35.2) дискретные отклонения sna на поле
смещения s(r, t). Потенциал возмущения получается опять из^разложения
потенциала по малым смещениям:
бУ = - s grad У (г,). (49.15)
Это приближение, которое, как и в § 35, имеет смысл только
в граничном случае длинных волн у акустической ветви, было выдвинуто
Блохом. Оно приводит к тем же общим результатам, что и модель
недеформируемого иона, только множитель М&д в (49.14)'будет другим.
Другое предположение, самосогласованйый потенциал Бардина, основывается
на гипотезе, что в металлах ионные остовы при колебаниях смещаются как
целое, однако газ электронов проводимости перестраивается в зависимости
от моментальных положений ионов решетки. Для взаимодействия с одним
выделенным электроном это означает только экранирование потенциала
неменяющегося ионного остова электронным газом. Это экранирование может
быть учтено, если каждую компоненту Фурье потенциала электронного
взаимодействия разделить на диэлектрическую проницаемость (13.12),
зависящую от волнового числа. Мы здесь не будем останавливаться на не
очень простом вычислении вероятности перехода (49.14) для этого случая;
для более детального обсуждения всех трех предположений: Нордгейма, Блоха
и Бардина-о виде потенциала сошлемся на изложение Брауэра [9], Хауга
[11.11] и Займана [20]. Кроме того, надо рассмотреть еще одно
предположение, которое для полупроводников играет наибольшую роль,-
деформационный потенциал.
Рассмотрим еще раз приближение непрерывного поля смещений s(r, t) для
граничного случая длинных волн акустической ветви. Акустические
продольные колебания тогда являются волнами сжатия в непрерывной среде. С
волной сжатия связано относительное изменение объема А (г, t), которое
равно дивергенции s. Изменение объема означает изменение постоянных
решетки, а следовательно, и параметров зонной"'модели, зависящих от
постоянной решетки.
В рамках приближения эффективной массы (ср. § 21) можно энергию Е
электрона или дырки в блоховском состоянии в какой-нибудь зоне
представить в виде энергии границы зоны (для элек-трона"в
зоне'ппроводимости она равна 'нижней границе зоны EL) и разности энергий
Е - Ег. Тогда"величину Еь можно определить как потенциальную энергию, Е -
Е^ - как кинетическую энергию,
200
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
[ГЛ. VIII
Периодическое изменение постоянных решетки волнами сжатия будет вызывать
периодическое изменение EL. Потенциальная энергия электрона,
следовательно, зависит от его положения, и возмущение EL(r, t) - E°L =
