Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
со2 находим поперечные колебания (с* = 0, с2= 1). На оси 2 также верхняя
ветвь соответствует продольным колебаниям и нижняя ветвь - поперечным
колебаниям. Напротив, колебания с ^-вектором на оси Z нельзя
классифицировать таким способом. Таким образом, разделение на продольные
и поперечные колебания возможно только для определенных значений q.
Расчеты моделей, аналогичных рассмотренной модели, проведены для многих
твердых тел. Применимость метода при этом ограничена следующими фактами:
а) Модель, в которой химические связи между атомами заменены
квазиупругими силами, может быть применима только в том случае, если
химические связи являются центральными силами. Это имеет место в ионных
кристаллах, где электростатические силы между ионами решетки ответственны
за связи.
У ковалентно связанных решеток связи направленные и, следовательно,
зависят от угла между ними. Такие связи плохо описываются квазиупругими
силами. Тем не менее и в этом случае получены относительно хорошие
результаты.
б) При замене ионов решетки твердыми шарами, связанными пружинками, не
учитываются поляризуемость ионов и их сжимаемость.
в) Силы связи действуют не только между ближайшими соседями, и, в
принципе, эти силы должны быть учтены вплоть до очень отдаленных ионов.
При этом, однако, в результаты входит все большее число параметров,
которые должны быть определены подбором из результатов эксперимента. В
этом случае нецелесообразно уточнять модель за счет еще большего числа
свободных параметров, если только они не могут быть определены
экспериментальными измерениями.
В рамках модели квазиупругих связей самой простой является модель
несжимаемых ионов. Однако если нельзя ограничиться близкими соседями, то
число необходимых "параметров очень
-
Ms L LS' / У"*"*"*- Me
- r\\z, K'W <Z'
Рнс. 47. Дисперсионные кривые для квадратной решетки при учете упругих
связей между ближайшими и следующими по расстоянию соседями (fi/fa = 2).
148
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ
[ГЛ. V
велико. Так, например, для германия, как показали вычисления Хермана,
необходимо учитывать шесть следующих соседей, чтобы-получить
удовлетворительные результаты.
Теория существенно улучшается, если учитывать поляризуемость ионов ¦
решетки. Это можно сделать, описав валентные электроны иона как
отрицательно заряженную оболочку с нулевой массой, которая связана с
положительным остовом иона изотропными упругими силами (оболочечная
модель). Для германия
Рис. 48. Дисперсионные кривые coy (q) для алмаза. (По Бильцу [58.6].)
удовлетворительное совпадение с экспериментом было получено при учете
только ближайших соседей с помощью оболочечной модели, причем в результат
вошло только пять свободных параметров. Однако и здесь число параметров
быстро возрастает, если пытаться уточнить колебательный спектр.
Дальнейшее существенное улучшение этой модели получается при учете
сжимаемости ионов решетки посредством предположения о сжимаемой оболочке
("дышащая" оболочечная модель). Это уточнение во многих случаях привело к
количественному совпадению с экспериментом. Для подбора параметров в
первую очередь служат константы упругости и диэлектрическая проницаемость
(§ 35 и 36). В большинстве случаев их не хватает, чтобы определить все
свободные параметры. Тогда для подбора используют результаты
экспериментальных измерений колебательных спектров. Экспериментальные
измерения дисперсионных кривых возможны с помощью неупругого рассеяния
нейтронов, причем для твердых тел этот метод ограничивается не слишком
большим сечением рассеяния. На рис. 48 показаны ветви функции Ю/ (q) для
алмаза вдоль важнейших осей внутри и на поверхности зоны Бриллюэна. Самые
существенные результаты рис. 48 могут быть выведены уже из соображений
симметрии, как мы в этом убедились в § 26.
плотность состояний
149
Мы здесь не будем входить во все уточнения, которые еще возможны при
расчете дисперсионных кривых. В частности, для ковалентных кристаллов
возможно в определенных границах учитывать силы, зависящие от углов.
Для металлов важна экранировка ион-ионного взаимодействия газом валентных
электронов. В этом пункте, следовательно, элек-трон-электронное
взаимодействие должно быть включено в теорию.
В принципе силовые константы могут, конечно, быть получены также из
уравнения Шредингера для полной системы. Для металлов здесь помогает
понятие псевдопотенциала, которое позволяет развить приближенный метод
для расчета дисперсионных кривых и отказаться от нефизического введения
упругих сил. Здесь мы можем только рекомендовать литературу, особенно
Харрисона [10, 92] и Зандрока [59.X].
§ 34. Плотность состояний
Знание дисперсионной кривой для всей зоны Бриллюэна, т. е. функции соу
((f), позволяет вычислить плотность состояний из уравнения (32.6). На
рис. 49, а показана плотность состояний для одномерного случая линейной
цепочки с двумя атомами в ячейке для двух различных отношений масс
атомов. При двух одинаковых массах (левая часть рисунка) плотность
