Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
± я/а - значения ]/~2f/M1 и V2f/Ms (рис. 44). Для двух граничных значений
<7 = 0 и ± я/а (по (30.18)) отношение амплитуд сг/с1 будет
Эти граничные случаи соответствуют характерным формам колебаний. Так как
|<7| = 2я/А,, то для <7 = 0 колебания соответствуют бесконечной длине
волны. Все элементарные ячейки колеблются одинаково. При этом для со =
со_ амплитуды обоих базисных атомов в элементарной ячейке имеют
одинаковое направление, тогда как для со = со+ они направлены в
противоположные стороны. Первый случай является граничным случаем для
акустических волн; соответственно ветвь, исчезающая при <7 = 0,
называется акустической вгтвью. Вторая форма колебаний в ионных
кристаллах легко возбуждается оптически. Соответствующая ветвь колебаний
поэтому называется оптической ветвью.
При q = ± я/а базисные атомы одного сорта (Afj или М2) лежат как раз в
узлах колебаний с длиной волны 2а. Если каждая элементарная ячейка
содержит г базисных атомов, то наряду с акустической ветвью возбуждается
г -1 оптическая ветвь колебаний.
Из (30.15) не видно, описывает ли это уравнение поперечные колебания, т.
е. отклонения, перпендикулярные к цепочке, или продольные колебания, т.
е. смещения в направлении цепочки. Уравнение (30.15) справедливо в обоих
случаях, пока амплитуды колебаний малы. При этом, конечно, смысл
константы f для обоих случаев различен. При малых амплитудах каждое
трехмерное колебание цепочки может быть разложено на три независимые
части, из которых одна состоит из продольных колебаний и две -из
поперечных. Оба поперечных колебания лежат во взаимно перпендикулярных
плоскостях, линия пересечения которых является направлением цепочки в
положении равновесия.
(30.24)
для <7 = я/а и со = со+, для <7 = - я/а и со = со_.
и со = со+,
ci
= оо
§31]
НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ. ФОНОНЫ
137
В общем случае при колебании цепочки мы находим три акустические и 3 (г -
1) оптические ветви как функции u>/(q).
При переходе от этого примера к кристаллу с г атомами в каждой
элементарной ячейке качественная картина остается той же. Частота со,-
(Q) состоит из трех акустических ветвей, вырожденных в точке Q - 0, и 3
(г-1) оптических ветвей. Эти ветви теперь являются функциями вектора q.
Попарное вырождение обеих поперечных ветвей, имевшее место в одномерном
случае, сохраняется теперь только в точках или линиях высокой симметрии в
зоне Бриллюэна. В произвольной точке q расщеплены все 3г ветви.
Название оптическая ветвь не всегда надо понимать дословно. Имеются
нормальные колебания, относящиеся к оптической ветви, которые не могут
быть возбуждены оптически. Так же, кроме как при q = 0, колебания
оптической ветви не всегда находятся в противофазе и акустической ветви -
в фазе. Здесь могут появляться сложные смешанные колебания двух ветвей,
реализованных в граничном случае (30.24) в точке q = 0. Так же только в
точках и вдоль линий высокой симметрии колебания будут строго продольными
или поперечными.
§ 31. Нормальные координаты. Фононы
Функция Гамильтона для колебаний решетки, по (30.1) и
(30.2), имеет следующий вид:
H = Yrr'S'n*t + \ Е (r)п"Г{'SnalSn'a'i'- (31.1)
nai nai
n'a'i'
Величины snai (t) являются линейными комбинациями специальных решений
(30.14):
зпа1у)=-±=^(д, t) (31-2)
а 1ч
где зависящий от времени экспоненциальный множитель в (30.14) включен в
Qi(q, t) и множитель 1 /УN выделен.
Подставив (31.2) в (31.1), можно выразить функцию Гамильтона через
нормальные координаты Qj. При преобразовании мы используем:
а) 2 е( <"-"'>•*" = ЛТД (0-0'), (31-3)
П
где A (q) равно единице, если q равно нулю или вектору обратной решетки
Кт\ при других значениях A (q) равно нулю.
Так как snal (t) вещественны, то
б) eW(q) Q; (q, f) = e&{-q)Q,(-q, t). (31.4)
138 КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ [ГЛ. V
Это выполняется, если потребовать
е$'(Я) = *(r)Иг-Я) и Q]{q, t) = Qj(-q, t). (31.5)
При этом мы допустили комплексные еш-.
По (30.12) cai могут быть выбраны взаимно ортогональными.
Тогда дальше для еа, будет справедливо
%e'a!{'(Q)e??(q) = 8ir. (31.6)
а I
После некоторых вычислений *), учитывая (31.3) и (31.6), получаем 2КФ to'
о Qj to' 0+(c)JQ; (g, t) Qj (q. tj). (31.7)
14
При введении нормальных координат функция Гамильтона распадается на сумму
3rN членов. Связанные колебания отдельных ионов формально заменены
несвязанными коллективными колебаниями. Использованные здесь нормальные
координаты комплексны. Вместо них можно также выбрать вещественные
нормальные координаты.
Импульс Р, сопряженный с Q*, находится из функции Лагранжа L - T - V (см.
(31.1)), в соответствии с которой
0 = ^ =Qy(g. t). (31.8)
oQi (q, t)
Тогда оператор Гамильтона
H^jXiPiiq, t)Pj(q, t) + (r)/ (q) QJ (q, t)Q,(q, t)). (31.9)
14
Уравнение Гамильтона (P = - dH/dQ*) приводит к
Pj(q> t) = Qj{q, t) = -e>j(q)Qj(q, t). (31.10)
Для нормальных координат Qj(q, t) уравнение движения тогда будет
Qj(q, t) + <*Uq)Qj(q, 0 = 0, (31.11)
и оно формально совпадает с уравнением движения гармонического
