Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
Dnai'1' с 3rN вещественными собственными значениями со|. Сами со,- могут
быть либо только вещественными, либо чисто мнимыми. Последняя возможность
отпадает, так как в этом случае выражение (30.8) привело бы к
неограниченному во времени возрастанию или уменьшению snai.
Собственные векторы unai уравнений (30.9) обозначаются соответственным
индексом /; это значит, что каждому со• соответствует 3rN величин Они
называются нормальными колебаниями1).
Теперь мы примем во внимание трансляционную симметрию решетки. Из нее
следует, что Ф^аТ1' (или ?>"аТ1') не могут зависеть от самих индексов
ячеек п' и п, но только от их разности п' - п: Ф";0^' = ФЧл1' ("' - п).
При этом условии и предположении
Unai^Caie^'^ (30.10)
уравнения (30.9) превращаются в
¦2 \2.7ЖЖс,,,.. (30.11)
а'Г L п' J
или, так как суммирование по п' может быть заменено суммированием по п' -
п,
со2Соа= 2 (?)?"'<'. (30.12)
a rV
Таким образом, периодичность решетки снизила систему из 3rN уравнений
(30.9) до системы из 3г уравнений. Этой системе соответствуют тогда
только 3г собственных значений, т. е. 3г величин сОу. Однако они являются
функциями вектора q:
со = сOj(q), /=1, ...,3г. (30.13)
Для каждого со, уравнение (30.12) имеет решение cai=ei(i](q). Эти решения
можно записать в векторной форме. Тогда они определены с точностью до
произвольного множителя, который может быть выбран так, чтобы e$(q) были
нормированы (и друг к другу ортогональны).
(r)2са1-
*) Терминология автора может ввести читателя в заблуждение; конечно,
величины "па не являются нормальными координатами системы, которые
вводятся только в следующем параграфе. (Прим. ред.)
134
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ
[ГЛ. V
Для смещений sna{t) в этом случае справедливы в качестве специальных
решений уравнений движения (30.3) выражения
s</> (q, t) = -±= еЦ> (Д) е1'Ш). (30.14)
V М<х
из которых могут быть составлены общие решения.
Прежде чем подробнее обсуждать (30.14), рассмотрим дисперсионные
соотношения (30.13). a>j(q) - c точностью до множителя % - есть энергия,
q - вектор в обратной решетке. Функция a(q) играет для колебаний решетки
ту же роль, как функция Еп оk) для движения электронов в решетке.
Мы можем перенести сюда все существенные качественные результаты гл. IV.
а) Функция сOj(q) периодична в ^-пространстве, поэтому мы можем
рассматривать только одну зону Бриллюэна, форма которой определяется
трансляционной группой кристалла.
б) Благодаря циклическим граничным условиям, наложенным на кристалл,
число значений q будет конечным. Если основная
область содержит N элементарных ячеек, то N значений q лежит в зоне
Бриллюэна. Так как / может принимать 3г значений, то имеется 3rN
различных со/(<7), т. е. столько же, сколько кристалл имеет внутренних
степеней свободы.
в) Частота сc>j(q) является аналитической функцией в зоне Бриллюэна в
том же смысле, как En(k) является аналитической функцией k. Однако,
тогдаТкак индекс п в En(k) может принимать произвольно большое число
целочисленных значений, / имеет только 3г различных значений; соj(q)
имеет Зг ветвей.
г) Частоталсоу- (q) вазоне Бриллюэна имеет ту же симметрию, что и
зонная структура En(k). В особенности следует отметить, что, наряду со
всеми элементами симметрии пространственной группы, из-за симметрии по
отношению к обращению времени всегда a>J.(q) = Gi/(-q).
Существенно поведение соу (q) для q ->¦ 0. Основные результаты можно
получить уже на примере колеблющейся цепочки. Пусть цепочка из идентичных
шариков связана пружинами с одинаковыми константами упругости в f (рис.
43, а). Пусть, далее, а - расстояние между двумя шариками в состоянии
равновесия и sn - смещение n-го шарика по отношению к положению равнове-
// I L- а
Qym
п-2 Л-/ п л+2
.1 I I I
а)
\ Mf N
S)
Рис. 43. Линейная цепочка: а) с одним атомом и б): с двумя атомами в _
ячейке.
§30]
КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
135
сия. Тогда уравнения движения (30.3) будут иметь вид Msn = - f (s" -
s"+1) + f (s"_! - s"). Используя (30.8) и (30.10), получим
Из этого следует:
S --1--a>t)
п ум
(о 2М = /( 2 - e_i,7a -ei<7a),
(0 =
ЗШ1Г
(30.15)
(30.16)
(30.17)
(30.18)
функция от q. Первый период (зона Бриллюэна) лежит между -а/а и + п/а
(рис.
44). Если в единичной ячейке находятся два атома, то вместо (30.15) будут
справедливы
M141> = -/(2s<1'-s">-s"i1),
M2s"> = -/(2s<2'-sa>1-s<1>).
(30.19)
Обозначения показаны на рис. 43, б. Мы делаем предположение, что
Рис. 44. Дисперсионное соотношение to (q) для линейной цепочки с одним и
с двумя атомами в ячейке (левая и соответственно правая часть).
с<2> .
У Мг
Ум,
с,е
п + ~ I a-tot
• $а Г~ТТ~
- е' 2 ?* S(1) -\f . ~е * 11 V м%'
(30.20)
тогда
<&У М&--со2 У М2с2 --
2/ , 2 qa
-г- С1 + -¦:!= С2 COS ,
2/ , 2/
г.-: С, + -~= С, COS -V
М2 2 Умх 1 2
(30.21)
и в качестве решения определителя
136
КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ
[ГЛ. V
получим
Величина со, следовательно, имеет два решения: со+ (q) и со_ (<7),
которые при <7 = 0 принимают значения |/г2/(1/М1-[- 1 /М2) и 0, а при <7=
