Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
(3.12)
dxl dr2 = (3.13>
26 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ [гл. I
называют обменным взаимодействием. Для сравнения (3.6) и (3.11)
преобразуем третий член в левой части равенства (3.6) следующим образом:
А (=/=/) J |Г Г I
s V" Г 1ФА(Г')1(r) А > /-Ч 2 f I Ф/ (Г') I2 J , /ч /01il4
=--е LJ I r-r~d% Ф/С'*)-в* J -|7=-7ч (ЗЛ4>
В уравнении Хартри из величины взаимодействия рассматриваемого электрона
со всеми электронами (включая самого себя) вычитается взаимодействие с
собственным облаком заряда
- е J JF~r\ dx' (Mr)" Pf = - е1ф/(г')Г- (3-15)
Тот факт, что pf дает как раз заряд электрона, следует из условия
^ рf dV = - е.
В двух последних членах левой части (3.11) мы можем сначала сохранить
члены с & = /, так как эти слагаемые как раз сокращаются в обоих членах.
Последний член в левой части уравнения Хартри -Фока соответствует
последнему члену в правой части уравнения (3.14), и мы можем аналогично
записать:
Р ф* (Г1) фJ (Г') 7 р?р (Г, Г')
е* ? j |r-rr| dT Фй (г) = ~ е J ~ \7-Р\ dx' Vj '(ЗЛ6)
Spin И
при
Ф* (гг) <Ру (О Ф • (г) Фа (г)
р^=-е У, -----------------jtt-h---------. (3.17)
1 <Pj(r)<p/(r) v ;
Spin II
На место плотности заряда (3.15) вошла теперь обменная плотность заряда
рнр. Она представляет собой также заряд - е, как это сразу видно при
интегрировании по г'.
Существенное различие между рн и рнр заключается в том, что рн
распределяется по всему кристаллу, так же как плотность заряда остальных
п - 1 электронов. Обменная плотность заряда рнр, наоборот, зависит от г,
т. е. от положения наблюдаемого электрона. Таким образом, распределение
заряда, с которым взаимодействует электрон, описываемый в (3.11), зависит
от его местоположения; движение электронов с одинаковыми спинами
коррелируется принципом Паули. Объемное распределение плотности обменного
заряда
ПРИБЛИЖЕНИЕ ХАРТРИ - ФОКА
27
в общем случае оценить трудно. Для специального случая свободных
электронов оно, однако, может быть вычислено, и при этом проявляются
характерные явления обменного взаимодействия. Так как в двух последующих
главах мы перейдем к рассмотрению свободного электронного газа, то
отложим дальнейшее обсуждение до § 11.
Используя соотношения (3.15), (3.16) и обозначение р= 2 Р* "
k
получим уравнение Хартри -Фока в следующем виде:
Л (Г, Г')
1 2т
f* nfrl-(г г') \
- Д + V(г)-е j lrLr\--- d*} Ф/ (г) = Ем (г). (3.18)
Трудности решения этого уравнения заключаются прежде всего в том, что
искомые решения сру- входят в р в члене взаимодействия. Для решения в
этом случае используется процесс итерации. Пробная функция ср;-
подставляется в р, после чего в качестве решения уравнения получается
лучшее значение сру-, которое вновь подставляется в р, и т. д. (метод
самосогласованного поля).
Следующая трудность заключается в том, что третий член уравнения (3.18)
зависит от /у это означает, что для каждого электрона имеется свое
уравнение Хартри - Фока. Последнее затруднение обходится с помощью
предположения Слэтера, который
HF
усредняет все р;- по всем /:
Ул Ч5/ 4V М PfF (r' S Ф* (r') Ф/ (г') Ф/ И Ф* W
рпг=^----------------------= ---------------------. (3.19)
2>ИГ) Фа (г) 1ф*(г)ф*И
к k
Эта усредненная плотность заряда затем подставляется в (3.18):
+ -е(Г^т Г'1 dT'} ^{г) = (г)< (3'20)
Теперь член взаимодействия остался функцией только г. Эта функция может
быть объединена со вторым членом и приведена к локальному потенциалу,
одинаковому для всех электронов.
Таким образом, мы достигли цели, разбив уравнение Шредингера для
многочастичной задачи на одноэлектронные волновые уравнения. Третий член
левой части уравнения Шредингера для одноэлектронного приближения (3.20)
учитывает существенную часть электрон-электронного взаимодействия. В гл.
IV, являющейся центральной главой части I, мы подробно рассмотрим это
уравнение. Сейчас обратимся к континуальной модели, которую мы в гл. II
рассмотрим без учета электрон-электронного взаимодействия, а в гл. III -с
учетом электрон-электронного взаимодействия.
Глава II
ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.
СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ
§ 4. Введение
Для описания движения электронов самым простым приближением является
пренебрежение всеми видами взаимодействий, кулоновским взаимодействием
электронов друг с другом, а также взаимодействием электронов с
положительным фоном (ионная решетка). Каждый электрон независим от всех
остальных и подвержен влиянию только внешних сил.
Несмотря на такие грубые пренебрежения, модель невзаимодействующих
свободных электронов дает возможность'рассмотреть многие явления.
Обосновано это будет только в гл. IV. Будет показано, что взаимодействие
электронов с периодическим потенциалом решетки (включая усредненное
электрон-электронное взаимодействие приближения Хартри- Фока (3.20))
может быть во многих случаях учтено введением эффективной массы т*.
Проблема движения электронов при одновременном воздействии на них внешних
сил и потенциала решетки будет сведена к модели, в которой
"квазиэлектрон" с измененной массой т* движется под действием внешних
