Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
подход к теории сверхпроводимости и т. д. В этой связи мы будем изучать
также дальнейшие возбуждения, такие, как поляритоны и поляроны.
При определении элементарных возбуждений и при исследовании их
взаимодействий в основу будет положена ненарушенная, бесконечно
протяженная решетка. Таким образом, объектом изучения является всегда
идеальный кристалл.
Часть III (в оригинале третий выпуск), не вошедшая в настоящее издание,
посвящена реальному кристаллу, влиянию нарушений решетки, внутренних
границ раздела, поверхности и контактов. В ней рассматривается основное
состояние, т. е. влияние химической связи на твердые тела с большими
нарушениями, а также сплавы и аморфные фазы.
Исходя из объекта исследования, мы определили концепции теоретического
описания наблюдаемых явлений. Скажем в заключение несколько слов о
математических методах.
§2]
МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ
17
В основе наших представлений о твердом теле лежат два основных понятия:
представление о многочастичной системе и симметрия кристаллической
решетки. Свойства симметрии существенны для упрощения математического
описания. Большая информация может быть получена при использовании всех
свойств симметрии без количественного решения уравнения Шредингера.
Поэтому мы используем вспомогательные методы теории групп. Этим методам
посвящено Приложение Б.
Миогочастичный аспект всей проблемы использует многочисленные
вспомогательные математические методы. Квантовая статистика (ферми- и
бозе-статистнка) дает распределение по энергиям у невзаимодействующих
элементарных возбуждений. Для квантовомеханических представлений
оказывается удобным представление чисел заполнения (Приложение А). Для
проблем, учитывающих взаимодействие, в особенности для сильно возмущенных
систем, все больше привлекаются вспомогательные методы квантовой теории
поля: диаграммная техника, функции Грина, теория рассеяния, матрица
плотности и т. д. Во вводной книге, рассчитанной на широкий круг
читателей, эти современные методы не могут стоять в изложении на первом
плане. Мы все же затронем и эти методы при обсуждении вопросов
взаимодействия. Однако, насколько это будет возможно, мы будем
пользоваться обычными методами, изложенными в курсах квантовой механики.
Более подробно литература по математическим вспомогательным методам
теории групп и многочастичной физики приведена в списке литературы [78-
88]. Для концепции элементарных возбуждений в твердых телах рекомендуем
книги: Андерсон [8], Киттель [12], Пайне [16], Тейлор [19], Труды
конференции [49] и статью Лундквиста в [56]. Для метода Хартри-Фока (§ 3)
далее рекомендуем Андерсона [8], Брауэра [9], Хауга [11] и Киттеля[12].
§ 2. Уравнение Шредингера для многочастичных систем
Для количественного рассмотрения свойств твердого тела исходным пунктом
является уравнение Шредингера для кристалла. Мы начнем с определения
функции Гамильтона для всей системы. Она складывается из кинетической
энергии всех частиц, заключенных в кристалле, и их взаимодействия.
Отметим, что при образовании кристалла из отдельных атомов химические
связи осуществляются только валентными электронами, тогда как большая
часть электронов прочно связана в оболочках (электроны остова) и не
влияет на свойства твердого тела. Поэтому ионы решетки и валентные
электроны будут рассматриваться как независимые элементы. Такое
разделение на ионнь^ остовы и валентные электроны не всегда вполне
однозначно, поэтому оно уже является приближением.
18
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
В этом случае функция Гамильтона составляется из кинетической энергии
валентных электронов (в дальнейшем мы будем их называть просто
электронами), всех ионов и всех взаимодействий этих частиц между собой, а
также возможных взаимодействий с внешними полями:
Н == Hei "Ь H\oxl -f- //el-ion ~Ь ^ext- (2-1)
Пока мы не будем принимать во внимание последний член.
Для электронной части запишем:
+ + (2.2)
k kk' I I
Таким образом, взаимодействие мы считаем кулоновским. Суммирование
проводится по индексам электронов, в члене взаимодействия из суммы
исключается случай k = k'\ ph, и т есть импульс, положение и масса k-vo
электрона.
Соответственно для ионной части:
^ion = -^ion, kin + ^ion-lon = ^2Д^Г +^ion (R; Ri')- (2-3)
i 1 ii'
Здесь переменные для ионов мы обозначили заглавными буквами. При этом
ион-ионное взаимодействие мы пока записали в общем виде, предположив
только, что оно может быть записано в виде суммы двухчастичных
взаимодействий, которые сами зависят только от разности координат ионов
Для электрон-ионного взаимодействия мы соответственно полагаем:
ЯеМоп= SVel-lonto-*,). (2.4)
k, i
Здесь целесообразно сделать дальнейшее разделение: кристаллы
характеризуются симметрией, и эта симметрия задается периодическим
расположением ионов решетки. Однако строго периодичны не мгновенные
положения ионов решетки, а их положения равновесия, вокруг которых
происходят колебания ионов. Поэтому ион-ионное и электрон-ионное
