Теория твердого тела - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
+?(т?)'+-'-Ь <6Л8>
Здесь Ер - значение ? при Т - 0. Из (6.18) следует, что теплоемкость
электронного газа (на электрон)
-2-101234 с=§ = ^^.ф.Щ
Рис. 5. Ход интеграла Ферми (6.15) и По классической статисти-различных
приближений. ке (невырожденный электрон-
ный газ) каждый электрон вносил бы в теплоемкость вклад, равный 3kB/2.
Выражение (6.19) показывает, что при сильном вырождении только часть
электронов kBTjEP вносит вклад в теплоемкость. Это понятно, так как при
малом повышении температуры свободные состояния, на которые могут перейти
электроны, находятся в слое порядка kBT вблизи Ер.
Для металлов Ер порядка нескольких эВ. Поэтому отношение kBTjEP всегда
мало. Теплоемкость электронов в металлах, следовательно, должна быть
много меньше, чем следует из классической статистики. Проверка этого
предсказания и была первым подтверждением теории Зоммерфельда для
невзаимодействующих электронов в металлах.
Линейная температурная зависимость теплоемкости, вытекающая из (6.19),
также была подтверждена экспериментально. Небольшие отклонения абсолютных
значений могут быть отнесены за счет эффективной массы т* электронов
металла, которую мы уже упоминали в начале этой главы. Если в (6.19)
подставить Ер из (5.7), то видно, что с линейно зависит от этой массы.
В заключение укажем на другой способ вывода распределения Ферми. Для
этого мы введем понятия статистической механики, которые нам пригодятся и
в дальнейшем. Нам придется здесь
§6]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ И ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ
37
ограничиться очень сжатым изложением. Для более подробного знакомства
можно обратиться к литературе по статистической механике, см., например,
том V учебника Ландау и Лифшица.
Исходным пунктом является вероятность wn того, что в замкнутой системе
подсистема (с определенным объемом, заданной температурой и числом
частиц) находится в квантовом состоянии Еп. Эта вероятность есть
распределение Гиббса:
Еп
wn = Ae квт. (6.20)
Она позволяет определить средние статистические значения для всех
величин, относящихся к подсистеме:
? п
-- (6-21)
К ь т
в
п
Постоянная А в (6.20) связана с термодинамическими величинами через
соотношение In А - F/kBT. Выражение, стоящее в знаменателе (6.21),
называется статистической суммой (статсумма) и обозначается через Z:
Еп
Z = 2e k*T. (6.22)
П
Из2^,г = 1 следует: Z = e~F/knT, или
П
F ~ - kBT In Z. (6.23)
Таким образом, с помощью свободной энергии все
термодинамические функции могут быть выражены через статсумму.
Распределение (6.20) предполагает наличие теплового обмена подсистемы с
окружением. Если имеет место также обмен частицами, то вместо свободной
энергии F(V, Т, N) появляется термодинамический потенциал ?2(V, Т, ?).
Подсистема в этом случае характеризуется объемом, температурой и
химическим потенциалом. Для вероятности подсистеме находиться в
состоянии EntN
и состоять из N частиц из выражения для свободной энергии
F = Q-{-?N следует:
a + lN-En_ дг
wn,N=e квт , (6.24)
IN-Enf дг
Q = -kBT\nZN, Z,= 2e kBT . (6.25)
N. n
38 ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ БЕЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 1.ГЛ. II
Выражения (6.25) являются отправным пунктом для вычисления распределения
Ферми (так же как и классического распределения Больцмана и распределения
Бозе, которые будут рассмотрены позднее).
Пусть замкнутая система состоит из газа невзаимодействующих частиц
(бозоны или фермионы). В качестве подсистемы выберем совокупность всех
частиц в квантовом состоянии Е(к). Таким образом, имеется только' одно En
= E(k). Пусть число частиц N = пк, следовательно, энергия подсистемы
E,^N~nkE[k)\ тогда (6.25) будет
nk(t-E(k))
Qk = -kBT ln^e k*T . (6.26)
nk
Для ферми-частиц nk может принимать значения только 0 и 1. Следовательно,
Qk = -kBT\n{l + e квТ ). (6.27)
Среднее число частиц в системе, как следует из определения
термодинамического потенциала, есть его отрицательная производная по ?:
пк^ Щ~= ?(*•)-? ' (6.28)
1 Н-е квТ
Так как tik ограничено в интервале значений между 0 и 1, то это среднее
число частиц совпадает с вероятностью заполнения квантовых состояний
E{k). Таким образом, (6.28) дает искомое распределение Ферми.
Вернемся еще раз к статистической сумме (6.22). Если Еп являются
собственными значениями уравнения Шредингера Н\п~> = =Еп\п>, то (6.22)
может быть записано в форме
2 = 2 <" I е~н/квт | и> = Sp е~н/квт. (6.29)
П
Оператор р - (l/Z)e~H/LeT называется статистическим оператором.
Матричный элемент ртп = <т | р | п> называется матрицей плотности.
Средние значения (6.21) тогда будут
1 =2<"!/p|"> = Sp(/p). (6.30)
П
При переменном числе частиц оператор р, согласно (6.25), заменяется на
jN-H
kBT ' (6'31)
§7] СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 39
где N - теперь оператор числа частиц. Для образования средних значений
надо в (6.30) использовать pN.
Мы рассматриваем одноэлектронную проблему, т. е. полагаем Я равным
оператору кинетической энергии Я0 =- (%2/2т)А:
tf0|ft> = ?(ft)|ft>. (6.32)
Оператор числа частиц, примененный к одночасгичному состоянию,
