Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
системы сил /. Используются соотношения
$ф(?> t)nds = 2 (T-^Ldo, (f>cp(?, ?)nds = 2 Qdo, (7)
/ fc 3 / I h
представляющие форму записи преобразования Гаусса -Остроградского,
например,
По (5) выражение главного вектора V сил / представляется функцией
и условие (8.20) представляется соотношением
*,+2[х
2ц(^+ц)
(С) .(6)
§ Ф (?>f Qnds=(ft (nt + m2) ф (?, I) ds
Выражение момента силы записывается в виде
xfy-yfx = ji(zf-zf)
246
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. G
и по (6) имеем
Н-2ц
2t(i. + jL)"'' = T(W-zftdS =
= {г" [ж(r)
Mg)
Mg)
+тф\
д М(0 d?-N'(Q
lZnU di Mg)
-гп
- zri
M4Q-
M(t)
Mg)
| ds -f-
Г d Mg) ,y --------------
I dt ЖШ (0
dt, Mg)
j;
ds.
Этому выражению, если исключить из него по (2) и (4)
Mg) с д Mg)
- f-
Mg) ' J Mg) и использовать преобразование (7), придается вид т° = i\i(j)
[znM2 (2) - znM2 (^)] ds =
= 2tp
dz
- МЩ)----------=
dt, VW dl
M2(D
do.
По (1) и (8.19) выражение под знаком интеграла равно нулю, как и
требовалось.
Переходим к рассмотрению эффектов второго порядка. Не имеющая нулей в 6-
области функция экспоненциально представима в ней, так что
№(?) = ех pQ(0,
^K=expi[Q(0-fi(c)],
ЖУШ'dl=~i Q' (r) Iехр ^110 (r)-Si (?)] dt'
В рассмотрение вводятся потенциалы Мусхелишвили Ф(?), Y (?), дающие
решение линейной задачи
/° = П [ф (?) + Ф (?)] - П [?Ф' (D + Ч (Ш
(В)
(предполагается здесь и далее, что нагружение "мертвое", иначе говоря, -
- сила остается при деформировании неизмен-
ной).
§ 14] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 247
Соотношение (8) позволяет теперь заменить краевое условие (6) записью
п (Ф (Q + Ф (?)) - п (?Ф' (?) + Т (?)) =
= 2п [ехр й (?) - ехр у (Q (С) - Й (?))] -
Е
Й' (S) jexp-i(fi(C)-Q (?))<*?+ #'(?)
- п
• (9)
Модули функций Ф(?)> Ч1- (?), решающих линейную задачу, имеют порядок
линейных деформаций. Чтобы учесть эффект второго порядка, следует принять
й(0 = ф(С)+фле). ^(0-^(0 +'МО (Ю)
- корректирующие слагаемые Фг (?), (С) должны быть по край-
ней мере второго порядка. Отбрасывая слагаемые выше второго порядка,
получаем
1
ехр Й (С) = 1 + Ф (О + Фх (О + у Ф2 (О, ехр у (Й (О - Й (?)) =
= 1 4 у (Ф (О - ФЦ)) +| (Фг (С) - ФЛО) + i (Ф (0 - Ф7Г))2-
2 Г
ехр Й (0 - ехр ^ (Й (0 - Й (0) = (Ф (0 + Ф (0) +
+ (Ф1 (О + Фх (0)+i Ф2 (0 - j Ф2 (0 + 2 Ф (0 ф (О.
Е
й' (0 j ехр 1 (Й (?) - Й(r)) 4 = [Ф' (О + Ф( (0] ? +
Е
+|ф' (0 j [Ф(0-Ф(0]^.
После подстановки этих выражений в (9) линейные относительно Ф(0, Ч1-(О
слагаемые сокращаются; это служит проверкой того, что первые слагаемые в
(10) действительно дают решение линейной задачи. Для определения ФЛО" 'МО
получаем краевое условие
п (ф( (о+ф; (о - пт (о - nwt (q =
= |я(--|ф2 (0 + уФЛо-Ф(ОФ(c)) +
+ 1п(фЛ0 ]'ф(0^-?фЩфЛо), (И)
248 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ 1ГЛ. о
соответствующее линейной задаче с "поверхностными силами"
1п(-|фмо+4^-ф(c)ф7Г))+у"(фг(Р1(,ф(0 #-
-?Ф(?)Ф'(Qj^nPG, y + nQ&, 0, (12)
известными по решению задачи (8). Без труда проверяются соотношения
о ^- + -^==0
Из них и формул (8) следует, что главный вектор "сил" (12) равен нулю.
Выражению главного момента их придается вид
т° = Ti $ t?(пР + nQ)- ? (пР + ftQ)]ds =
I
= -i]\(P-P)do = 2i\\ (Ф2 (?) -ФЙЁ)) do
ь ь
и условие обращения его в нуль приводит к соотношению
$$[Ф2(?)-ФЧЦИо = 0. (13)
!>
Но^решение линейной задачи определяет функцию Ф (?) с точностью до
аддитивной чисто мнимой постоянной iC. Приняв
Ф (?) = Фх (?) + iC, Ф2 (D = Ф2Х (?) + 2/СФх (С) - С2,
Ф2 (?) - Ф2 (?) = Ф^ (?) - Ф2х (?) + 2iC (Ф (0 + Ф (?)), можно теперь
переписать (13) в виде
2CJJ[(r) (?) + Ф(?)]do = t JJ [Ф2Х (?)-ФШdo.
b b
Постоянная С может быть определена отсюда при условии
2 SS [Ф(е)+Ф7ё)]л>=и=о.
ь
В задаче о плоской деформации
2 (Ф + Ф) = а, + аа = ^ ст3, j j (Ф + Ф) do = Q
j j 5l О "ФИЗИЧЕСКИ-HE ЛИНЕЙНОЙ" ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 249
здесь Q -продольная сила, создаваемая приспособлениями,
предотвращающими продольное смещение торцов цилиндра (было принято,
напомним, с= 1).
§ 15. О "физически-нелинейной" теории упругости
Известно, что в некоторых материалах (горные породы, чугун) уже при
весьма малых деформациях обнаруживаются нарушения линейной зависимости
тензора напряжений от линейного тензора деформации s. В "физически-
нелинейной" теории предлагается компенсировать этот недостаток, сохраняя
в уравнении состояния вторую и иногда более высокие степени е.
Такой прием учета, предложенный Каудерером (Н. Kauderer, 1958), получил
распространение в ряде публикаций. Здесь он сопоставляется с построениями
"эффектов второго порядка", в которых сохраняются все слагаемые,
квадратичные по градиенту деформации вектора перемещения Vu.
Ограничиваясь рассмотрением изотропного упругого материала, будем
исходить из соотношений (2.7.6), (4.1.8)
6 э-
]/-§- эс--6Сг = Г--бС*, (1)
в которых С -тензор деформации Коши -Грина (1.7.9), а Т~- энергетический
тензор напряжений (2.6.11)
C = e(u) + |Vu-Vu\ Т~ = j/'-J- эс. (2)
Тензор напряжений Коши по (4.3.26) связан с Т~ соотношением
