Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Gx+c'2i3i3, F = Fx+c2i3i3.
Компоненты (аЗ) этих тензоров обращаются в нуль -это и является
существенным свойством плоской задачи. Инварианты мер деформации
оказываются равными
I^n + c2, I^n + c2Il IS = C2^ = C2H (12)
Следствием этих формул является соотношение между инвариантами Ik (G)
h-= ^- + 04,-0* (13)
и удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать как
функцию инвариантов /х, /3
з(л, с*Л-с*+-рг, /з)=зх(/1, /3), (14)
так что
dh dh ^ dh ' dh L dh ^ dh ¦ K '
Уравнение состояния, основываясь на (11), можно записать в виде
Т= Е/, lk+{?r+ '• У) F" рХ' +
+ [(!г + ''ж),;!-7Л':,М- (16)
Отсюда следуют соотношения
С-0, а- 1,2; 2/У'- {/, J^+ с' [$-+(/,-*) ¦?] }
(17)
§5]
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
269
и определяется тензор на плоскости
Tx = f"РRaRp = = 2/я- V. |E2/s
дэ
3Ж
/ дэ
\Ж
д'4 \ р х дэ р у г )
dl, J д/.г j
Заменив здесь плоский тензор Fx2 его представлением по теореме Г
амильтона - Кэли
получим
Тх = 2Ц
7*
Е" L
рх2
дэ
/;fx-e2/°,
¦/!ж) + (ж+с!ж)рх
По (12) и (15) это выражение приводится к виду
дэ*
Тх = 2/3-"ЧЕ2/3^
рх
(18)
Тензор напряжений представляется формулой
рх
ад г ^
Т = ТХ -f- i3i3/33 = 2I3'fl |е2/ азХ '
+ *3*3
1 а/3 им I г2 дэ 2 ,, 2, дэ
о/3 ж+с {11~С)Ж
(19)
4. В несжимаемом упругом теле .9 = э(/1; /2). Соотношения (12), (14),
(15) приобретают вид
/! = /; + <:*, /2 = с-2, /2 = с-а + с*/1 -с4 = с-а + с*/;, (20)
з(/1; /2) = э(/1, C2/1 + C-2_C') = 3X(/1), *1=* (21)
а второе уравнение (11) отпадает, так как /3 не входит в исходное задание
э; слагаемые, содержащие дэ/д13, дэх/д13, должно отбросить из выражения
(19). "Определяемое" напряжение Тя представляется формулой
\
: 2 •! -тт- Fx \ dlt
ж+^-^ж
(
и выражению тензора напряжений Т придается вид
Т = - рЕ + Тя = - рЕ2 - pi3i3 + Тя = Тх + i3i3/33. В этой формуле T* =
P'PRaR3 = -pE2
-¦r*^Fx
t3
¦ р -f-2c2
*- + (1 -счА d!l i-lC c ) d/2
(22)
(23)
(24)
- тензор напряжений в плоской задаче для несжимаемого материала
представлен суммой плоского тензора Тх и тензора i3i3i33.
270 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
Эти тензоры не зависят от третьей материальной координаты qs = х3.
Уравнение статики при отсутствии массовых сил преобразуется к виду
V.T=(v*+l,i,^)'T =
= (В" 3^ + '• К-) • <Т* + ГУ") = V*• Т* (tm) 0, (25)
так как производные по х3 равны нулю, a B"-i3 = 0. Компонента /33 тензора
напряжений определяется формулой (24); входящие в нее инварианты /j, /2 и
множитель связи р (давление) станут известными функциями материальных
координат ql, q2 и с из решения задачи равновесия для тензора Тх; на
последнем этапе постоянная с определяется по заданию продольной силы Q
Q = ^ /33 ФО = j ^ t33d da1 da2 = j \ ]/~t33da}-da2. (26)
s s' d(a , a ) g
5. По (2.4.9) уравнению статики удовлетворяет представление Тх через
функцию напряжений U (q1, q2). Обратившись также к формулам (3), получим
Тх = ГрВаВр -= - i, х VVH х i* = В^ х i3B6 х i3VvV6(7 =
= e*e (Bflt x i3) x i3e6p (bp x l) x i3vvv6t/=ev"eepBaBpVvv6n. (27)
Обозначив
VVU = M = BaBpm"p, Tx = - i3 x M x i3 = Ba x i3Bp x i3m"p,
легко обратить это соотношение, умножив его векторно справа и слева на
i3. Получим
i3 х Тх X i, = I, X (Be X i3) (Вр х i3) X i3m"p=-• BaBpm"p=- М=Wt/. Итак,
Wf/ = ~i3xTxxi3. (28)
Через t, N обозначил! единичные векторы касательной и нормали кривой Г в
плоскости х3 = const; предполагая, что N, t, i3 ориентированы как оси XYZ
и dS-элемент дуги этой кривой, имеем
t = §, N = tx i3,
N • Тх = - (t х i3) • (i3 X VVH x I,) = t • (WU x is)
§5] ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА 271
и главный вектор Р сил, распределенных на дуге кривой Г, оказывается
равным
сЛ a'flr Xil оЛ
Р= J tds (VV?/ X i3) = 5 c/B-VV?/xi3= $ dXU x i,=VC/x ia | ,
ojfiss qMb G^o
так как dB* WU~ dVU. Главный момент этого распределения сил определяется
теперь выражением
оМ оАЬ
ш°= 5 В х (d\U X i3) == - i3 S В -dVU
оМъ G$0
и главный момент Ш °z относительно оси OZ оказывается равным
оЖ оМ оМ оМ
m°z=- $ B-dVU = - J d(B-VH)+ J dB-VU = (U-B-VU) | .
Q/fifS Q/fif 0 G/$0
Итак, с точностью до аддитивных слагаемых
P = \Uxi3, m°z = U - B-\U. (29)
Для любого плоского тензора Мх имеем /l(i,xMxXi3) = -/1(MX).
Обратившись теперь к (28) и (24), получим для несжимаемой среды
ушу = I, (Тх) = - 2р + 2 ^ /!, р = - j ( V*t/ -27" . (30)
Тензор Тх теперь можно представить выражением
TX=1e2(v2U-~2/"-^) + 2^-Fx. (31)
Отметив еще, что i3xE2xi3 =- Е2, можно придать формуле (28) вид
VVU = 4 Е2 (V*U -2 /") - 2 -g- i3 X Fx X i3. (32)
В компонентном представлении
Wt/ = B"BpVaVpt;, Е2 = В"Вр5ар, Fx = &v6BvB6,
- i3 х Fx х i3 = b*% X i3B6 X i3 = bv6eyae6pB"B .
В последнем выражении по (3)
bv6 = bv- be = ev|Xeev (Ьц X i.) • (bv x i3) = eHMV,
272
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
так что
b^6 ?7йебр = frnvevli?vae6ve6|3 = 4- &m>evM,e7ae6ve6p
и теперь
isxF*xi, = bv&evae6fiBaBP = 4- Ь"вВ"ВР;
наконец, по (12) в несжимаемой среде Bjb = c~2. Компонентному
представлению соотношения (32) придается вид
