Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
s s
Решение линейной задачи задается вектором перемещения
v = a[a3isxp + i39 (а1, а3)] (2)
- отброшены слагаемые, определяющие твердое перемещение. Через а
обозначен угол кручения, отнесенный к единице длины. "Депланация" ф (а1,
а2) -гармоническая в S функция, определяемая по значению" ее нормальной
производной на контуре Г поперечного сечения
da2 da1 \ -0\
"1 = -зг , nt=- -f- ). (3)
ds ' "2 ds .
Определяемый по (2) тензор Vv равен
v Г o'] /о \
vv = aLa3(i1i2 - i2i,) + i3 (i3Xp) + v<pi3J ^v<P = i, + i2^ J .
(4)
238 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Отсюда находим выражения линейного тензора деформации о о
e(v), его первого инварианта •& и вектора малого поворота со
8 (v) = 4 (Vv + VyT) == 4 at'3 ('3 х р) + ('" х Р) + УсР*8 + '3?СР]> (5)
(0(v) =4Vx V = -Ja(^a3'h-1Р + Vqjх i3) , {1 = 0. (6)
Тензор напряжений Т° (v) оказывается равным Т° (v) = Я.-&Е + 2ps (v) = pa
[i3 (i3 x p) + (i3 X p) i3 + V?i3 + i3Vcp] =
= T31 (*1*3 + Ml) + ^23 (*2*3 H" *3*2) t
Т,1 = ра(0-а2). T23 = pa(|j-f-a1) ¦ (7)
Постоянная a выражается через крутящий момент mz и жесткость при кручении
С
т2 = раС, тг = 5 5 (а1т2з ~ a2i:3i) do (8)
s
и по (7) и (1)
С = /
Р + Я (а1|^_а2?) do==/* + jT (*3Хр)-(9)
S S
Другое представление жесткости при кручении дается выражением
С - /р- J5 Vcp-Vcpdo. (10)
s
Имеют место соотношения
55^фсй>=0, 55р'^Ф^о==0 (11)
з s
- первое по (7) выражает, конечно, равенство нулю главного
вектора напряжений т23, т31; оно легко следует и из краевого
условия (3). Несколько сложнее подтвердить второе. Имеем
jJp-V9do=jf +
5 5 5
= (ftфр-nds -2 55 фсй> = 0,
sj3] ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 239
так как из преобразования Грина в применении к ср (а1, а2) следует
f j (p-pV2<p -cpV2p.p) do = (f (p- Р^-Ф^Р-Р)ds,
s r
4 jjj^do = 2^^p-nds s г
- здесь было учтено, что ф -гармоническая функция, а линейный интеграл
над Р-р^ по (3) оказывается равным нулю:
ФР' Р= \ (а1' + °?г) (.а*п1 ~alfl2)ds = 2 (а1 а2 - аV) = 0.
ГГ S
2. Эффекты второго порядка. Необходимое условие существования
корректирующего вектора w (11.9), поскольку /г (Т°) = = 0, приводится к
виду
J J T°(v) • to (v) do = n а2 ^ - i3 р-УфсМ + а3^ J (Уф + isXp)do'j=0.
(12)
Оно выполняется по (11) и (1). Изменение AL длины стержня выражается
через среднее относительное удлинение
о
AL = Li3-Em (v)-i3 и по (11.20), (11.21) представляется выражением
^-дДмИ^Д/-('р''?у')+МГ)]~
О 5
-i3.(T".VvT + r)-i3| (13)
- достаточно знания первых инвариантов и (ЗЗ)-компонент тен-
о
зоров T°-VvT, Т'.
Вычисление дает
Ix (t°-Vvt) = Т°* • VvT = ра2[р р + 2 (13Хр)-Уф+Уф-Уф] , i3-T°-VvT-i3 =
pa2 [р-р + (13Хр)-Уф] ,
240
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. G
а обратившись к представлению (10.9) тензора Т', приходим к выражениям
1г (Г) = а2
i3-T'-i3=a2
(ЗА,+ 2р) [а32 +lp.p +-i.Vq>-Vq> ) +
0 0 \
+ -Я- (3т -р Vp-p + 2 (i,Xp)-V9+V(p.V(p;
А( а3' +yp-p + y Уф-'^Ч-
Н-тт (p-P + 2(i3X p)- Уф + Уф-Уф
После подстановок в (13) и упрощений получаем
L
о о ¦ рУф ¦ Уф
2р5
¦и
Я|х
1 . Зт-п/2 1
л -------- tn X
ЗЯ+2цт 2 ЗЯ+2[г 2 о о
о о
do.
X чР• р+2 (isXр) -Уф+Уф-Уф,)-pVp-p+(i3xp)-Vcp-]~Vcp-V9 По (9) и (10)
5S (Р-Р + 2 (i3хр) -Уф + Уф-Уф)б?0= /я + 2 (С - 1р) + 1р - С = С,
S
(р-Р + 0зХр)-Уф) do=Ip-{-C-Ip=-.C, §§Vq>-V<fdo = /р - С
и искомое представление относительного удлинения выражается формулой *)
&L
L
a2Ip а 2С 1 /. п'к
25 ' 25 ЗЯ+2р V 4р 171
а2/
Р , а2С nv
25" 25 (1 + v) LV 4р
¦0-2v>?
(14)
Укорачивается ли стержень при кручении или удлиняется, наперед сказать
нельзя: это зависит от постоянных материала; напомним, что для многих
материалов п < 0, т < 0.
3. Растяжение стержня. При действии продольной силы R вектор
перемещения точек призматического стержня и тензор
*) Задача была рассмотрена Ривлиным (R. S. Rivlin, 1951). После
согласования с принятыми Ривлиным обозначениями обнаруживается отличие
(141 от формулы Ривлина - в ней первое слагаемое в квадратных скобках 2v,
а не v. Вычисление в тексте многократно проверено разными путями.
jl3] ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 241
напряжений в нем определяются общеизвестными формулами
v = - \е3р + \3е3а\ Т° = 2р,(1 +v)e3i3i3;
R о3
3 2(l-f-v)pS 2(1+v)h'
так что
Vv = е3 (-vE2 + i3i3) = VvT = e(v), V.v = ft = (1 - 2v) е3, ш = 0, (15)
причем Е2 = ijij i2i2. Требуемые для вычисления эффектов второго порядка
величины оказываются равными
Т°.VvT = 2р (1 -f~v) efigig, 1Х (в2) = (1 + 2v2) <?§, ^
VvT • Vv = ei (v2E2 -f- i3i3).
Корректирующий тензор напряжений T' по (10.9) представляется выражением
Г - е! | Е2 [1Я (1 + 2v2) + г (1 -2v)2-f- (2m-л) v (1 + v) + (n+ц)v2] +
-figlg ^A(l+2v2)-f/(l-2v)2-f-(2m-")(l-v2)+" + p]}.
Необходимое условие (11.9) существования корректирующего
о
вектора w соблюдено, конечно, так как (о = 0. По (11.21) среднее
относительное удлинение, налагаемое на е3, оказывается пропорциональным
el и зависящим только от упругих постоянных материала
. = -y \ - 2v)2-J-2m (1 - v) (1 -f v)2 -f-3nv2] (J
