Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
128
и приводится ее доказательство, предложенное Шилдом.
4.6. Shield R. Т. Deformations possible in every compressible,
isotropic,
perfectly clastic material.- J. Elasticity, 1971. v. 1, № 1.
Вариационные принципы рассматриваются в §§ 16-19. Они полно представлены
(семь формулировок) в работе
4.7. Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости.-
Прикл. матем. и мех., 1971, т. 35, ЛЬ 5.
Особый интерес представляет принцип стационарности дополнительной работы,
поскольку оказалось возможным выразить его через функционал, не
содержащий определяемых по мерам деформации величин. См.
4.8. Зубов Л. М. Принцип стационарности дополнительной работы в
нелинейной теории упругости.- Прикл. матем. и мех., 1970, т. 34, № 2.
Эта работа вызвала отклики в статьях
4.9. Koiter W. Т. On the principle of stationary complementary energy in
the nonlinear theory of elasticity.- SIAM J. Appl. Math., 1973, v. 25, №
3.
4.10. Koiter W. T. On the complementary energy theorem in non-linear
elasticity theory.- Technische Hogesschool Delft, 1975, № 72.
4.11. С h r i s t о f f e r s e n J. Oil Zubov's principle of stationary
complementary energy and a related principle.- Danish Center for Applied
Math, and Mech., 1973, Rep. 44
(принцип применен к анизотропному телу).
Неоднозначность представления градиента места через тензор Пиола, на что
обращалось внимание в [4.9] - [4.11], проанализирована в статье
4.12. Зубов Л. М. О представлении градиента перемещения изотропного
упругого тела через тензор Пиола.- Прикл. матем. и мех., 1967, т. 40, №
6.
К ГЛАВЕ 5
Уравнение состояния приобретает конкретное содержание после того, как
принято то или иное представление удельной потенциальной энергии через
инварианты мер деформации.
Не приводит к цели предложенная Сетхом замена в законе Гука линейного
тензора деформации тензором конечной деформации - условия существования
удельной потенциальной энергии оказывается невыполненными.
5.1. Seth В. R. Finite strain in elastic problems.- Phil. Trans. Roy
Soc. London, 1935, v. A234, p. 231-264.
500
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Общее представление квадратичного закона зависимости тензора напряжений
от тензора деформации содержится в уравнении состояния Синьорини
(2.9), согласующемся с существованием удельной потенциальной энергии.
5.2. Signor ini A. Transformazioni termoelastiche finite.- Mem. la. Ann.
di Mat. (4), 1943, v. 22, p. 33-143; Mem. 2a. Ann. di Mat. Pura Appl.
(4),
¦ 1949, v. 30, p. 1-72.
См. также [8] и работу
5.3. ЗволинскийН. В., Риз П. М. О некоторых задачах нелинейной теории
упругости.-Прикл. мат. и мех., 1939, т. 2, № 4.
Мурнаган предложил исходить из полиномиального представления удельной
потенциальной энергии деформации (3.1) или (3.2). Работы Мурнагана
объединены в монографии
5.4. Murnaghan F. D. Finite deformation of an elastic solid.- Second
Edition, N. Y., 1967.
Постоянные закона Мурнагана третьего порядка (I, т, п) определяются в
акустических измерениях; к настоящему времени о них накоплено
значительное число данных. Таблицы 1-3 содержат сведения к 1975 г.
Формулы, выражающие изменение модулей объемного сжатия и сдвига с
коэффициентами Мурнагана, получены Вангом.
5.5. Wang С. С. Second order change of volume in isotropic materials free
from applied loads.- Zeitsch. angew. Math, und Mech., 1966, v. 46, № 2,
p. 141-144.
Формулы (4.5)-(4.8), определяющие преобразование коэффициентов законов
Синьорини и Мурнагана при преобразовании подобия отсчетной конфигурации,
в частности, в изотермических состояниях отличающихся температур, имеются
в книге
5.6. Brillouin L. Les Tenseurs en Mechanique et en Elasticite.-Paris,
Masson, 1932.
Удельная потенциальная энергия деформации материала, названного Джоном
гармоническим и далее называемого полулинейным, представима квадратичной
формой (5.2) относительных удлинений, приводимой к виду (5.4).
5.7. John F. On finite deformation of elastic isotropic material.- Inst.
Math. Sci. New York Univ.' Report IMM-NYU, 1958, № 250.
Представление (5.9), (5.11) удельной потенциальной энергии и
дополнительной работы через тензор Пиола и формулы для вектора места
получены в [4.8] и [2]. Условия сильной эллиптичности полулинейного
материала сообщил автору Е. Л. Гурвич; см. также [4.4].
Представление удельной потенциальной энергии (6.1) было предложено в
работе
5.8. Blatz P. J., Ко W. L. Applications of finite elasticity theory to
deformation of rubbery materials.-Trans. Soc. Rheol., 1962, v. 6, p. 223-
251.
Упрощенный вариант использован в [4.2]. Акустический тензор определяется
формулой (6.14), приводимой к виду (6.15), использованному в [4.2]. В
другом варианте выражения (6.1) материал оказывается сильно эллиптическим
при любых деформациях.
В § 7 удельная потенциальная энергия деформации представлена суммой
энергии изменения объема и формоизменения. Уравнение состояния приводится
к виду (7.11). См.
5.9. Пальмов В. А. Колебания упруго-пластических тел.-М.: Наука, 1976.
