Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Rational Mech. and Anal., 1955, v. 4, p. 3-81.
498
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Вводится понятие простого материала (2.4) и устанавливается его
фундаментальное свойство (2.9). Даются определения упругого материала
(3/:),
(3.10) и приводятся записи (3.15) - (3.18) его уравнений состояния.
Следствием замены отсчетной конфигурации может быть изменение формы
уравнения состояния при неизменившемся актуальном напряженном состоянии,
но не исключена возможность, что эта форма сохранится. Это связывается с
понятием "группы равноправности" материала (§ 4) и со строгим
определением свойства его изотропии (§ 5). Следствием является
соотношение (5.7) - тензор напряжений оказывается изотропной тензорной
функцией правого тензора искажений и поэтому представим квадратичным
трехчленом (5.9).
В §§ 6-8 даются определения и разъясняются понятия твердого тела
(изотропного и анизотропного), упругой жидкости.
Использована литература [5j, [9J, [11].
К ГЛАВЕ 4
В этой главе, как и в последующих 5-8 рассматривается гиперупрутая среда
(упругость по Грину); к определению упругого тела добавляется требование
существования потенциальной энергии деформации -функции градиента места,
вариация которой равна элементарной работе внешних сил ("накопленной
энергии"); через ее производные выражаются тензоры напряжений - см.
(1.4)-(1.9).
В § 2 приведены уравнения состояния ортотроппого и трансверсально-
изотропного упругого тела. Их применение можно найти в книге [1].
Уравнения состояния изотропного упругого тела приведены в § 3 в форме
представления тензора напряжений Коши через меры деформации Фингера и
Альманзи: часто используются формулы (З.д) для главных напряжений и
(3.11) для главных сил. Свойства нелинейно упругого изотропного
материала, таким образом, описываются тремя функциями инвариантов
деформации, например (3.5), связанных дифференциальными соотношениями
(3.G). Линейная теория обходилась лишь двумя постоянными Ляме;
естественно, что многие эффекты нельзя объяснить в ее рамках.
В §§ 5-6 введен тензор 0, которому в варьированном напряженном состоянии
отведена роль тензора напряжений - см. (6.2) - (6.4). Связи 0 с
конвективной производной тензоров Коши и Пиола представлены формулами
(5.9),
(5.10). Последняя указана в работе
4.1. Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости.
Случай наложения малой деформации на конечную.- Прикл. матем. и
мех., 1971, т. 35, № 5.
Тензор 0 вычисляется по формуле (5.8), менее отчетливо представленной в
[2].
В §§ 7-9 дается определение тензора упругостей - тензора четвертого
ранга, равного производной тензора напряжений по мере деформации, через
которую он выражен. Формулой (7.9) дается его инвариантное представление,
(8.4) - его компоненты. Следует остановить внимание па формулах (7.12) -
(7.14), выражающих коэффициенты Ляме через значения коэффициентов
уравнения состояния и их производных в натуральной отсчетной
конфигурации.
В векторном базисе собственных направлений меры Фингера компоненты
тензора упругостей вычисляются по формулам (8.6) - (8.8); их содержание
разъясняется представлениями (8.9) - (8.10) через главные напряжения.
Уравнения равновесия, выраженные через вектор места в актуальной
конфигурации ("уравнения в перемещениях"), представлены в § 10 в
различных видах, наиболее простой-¦ (10.3). Это - система уравнений в
частных производных сложной структуры линейных относительно старших
(вторых) производных вектора места. Понятие об эллиптичности (§11)
связывается со свойствами гладкости решений. Особенностей их следует
ожидать вне некоторой области параметров, определяющих деформацию. См.
работы
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
499
4.2. Knowles J. К.. Sternberg Е. On the ellipticity of the equations of
nonlinear elasiostatics for a special material.- J. Elasticity, 1975, v.
5, ,№3-4.
4.3. Knowles J. K., Sternberg E. Ori the failure of ellipticity of the
equations for finite elastostaii> plane strain.- Arch. Rational Mech. and
Anal., 1977, v. 63. Ah 4.
Признак сильной эллиптична сти формулируется в неравенствах (11.6),
(11.8). Он сюдг'м к требованию гп 'еделепной положительности
акустического тензора
(11.14). Общее представление этого тензора и специализация для некоторых
задании удельной потенциальной энергии деформации даны в работе
4.4. Л у р I. е А. П. Критерий эллиптичности уравнений равновесия
нелинейной теории упругости.- Механика твердого тела, 1979, ЛЬ 2, с. 213-
234. Представление акустического тензора в триэдре главных направлений
меры Фингера приводится в (12.9), (12.10); см. также [5].
В Ь§ 13-14 описываются формулировки и приемы решения краевых задач
статики нелинейной теории упругости, поясняется понятие "универсальных
решений". Формулируется теорема Эриксена об их несуществовании при
неаффинных преобразованиях
4.5. Ericksen J. К. Deformations possible in every compressible
isotropic,
perfectly elastic materials.- J. Math. Phys., 1255, v. 34, p. 126-
