Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы умножим обе части равенства (3.173Ь) на ехр | и воспользуемся
равенством (3.173а), то получим
a+e^V2 = е^а+ = (3.174)
Наконец, если мы умножим обе части последнего выражения слева
на ехр (?crz/2), то получим (3.169а). Аналогич-
но доказывается формула (3.169Ь), которая по существу является эрмитово
сопряженной формуле (3.169а).
Доказательство 2. Определим ст+ (?) следующим образом:
= (3.175)
Так как любая функция от az коммутирует с crz, то мы можем также
определить оператор az (?) с помощью соотношения
az (?) = = az. (3.176)
Используя (2.80с), получаем отсюда, что
[аг (?), а +(?)1 = 2а+ (?). (3.177)
Если мы затем продифференцируем выражение (3.175) по параметру ? и
используем формулы (3.176) и (3.177), то
получим
= ^Ml) - = -|-Jaz(?),a+(I)] = Ml)-
188
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. Ш
Так как сг+ (0) = а+, как это следует из формулы (3.175), то, интегрируя
приведенное выше уравнение, получаем формулу (3.169а). Аналогично
доказывается формула (3.169Ь).
Доказательство 3. Можно также доказать эту теорему, разлагая левые части
равенств (3.169а) и (3.169Ь) с помощью соотношения (3.14) (теорема 3) и
используя соотношения коммутации (2.80).
Теорема 14. Если | и ц - параметры, то тогда
e&z+Wx - Д- (2з+а_-1)+-Л (я++я_) _
=ch + Лая). (3.178)
Доказательство этой и следующей теорем предоставляем читателю в качестве
упражнения.
Теорема 15. Если \ и ц - параметры, то
= ch УЬ\ + -^-(Еб+ + ЛЗ-). (3.179)
В обеих теоремах параметры ? и ц являются с-числами. Теорема 16. Если щ и
а;- соответственно г-я и /-я компоненты спинового оператора, то тогда
Sp (<Т{<гД = 26{j, (3.180а)
Sp (щ) = 0. (3.180Ь)
Доказательство. Из формулы (2.76) при i Д= j имеем
GiGj - GjGi.
Вычислим следы левой и правой частей этого равенства:
Sp (aw) = - Sp (ом) = -Sp (OiO}) =0 (i ф j).
Последнее равенство следует из (1.73). Если i = /, то
из (2.77) получаем, что
Sp (щ2) = Sp (I) = 2.
Таким образом завершается доказательство (3.180а).
Для того чтобы доказать (3.180Ь), воспользуемся формулой (2.78). Тогда
получим
Sp (afaj) = 2i Sp (<rk) = 0,
так как г, / и к различны.
ЗАДАЧИ
189
ЗАДАЧИ
; 3.1. Показать, что если А и В - некоммутирующие операторы, то имеет
место соотношение
еАеве~А = ехр (еАВе~А).
3.2. Показать, что если А = ху + д21(дх ду) и § - вещественная
переменная, которая коммутирует с х и у, то справедливы следующие
формулы:
ег^Ахе~г^А = х ch 5 + i sh 5 >
ег1Ауе~гЫ = у ch 5 + ? sh ? .
3.3. Показать, что если § и ц - параметры, не зависящие от у, то
справедлива следующая формула:
ехр [5 (- лу)] = •
* 3.4. Привести функцию от бозе-операторов вида
/ (а, а+) = а17а+2аа+
к нормальной форме. Найти N {/ (а, а+)} и сравнить с нормальной формой
Вычислить коммутатор [а, / (а, а+)].
3.5. Вычислить коммутаторы [а, Д] и [а, ], если а и а+- бозе-
операторы и
f1 = е~ха+а, /<п) = N {ехр|(е_'х - 1) а+а^\.
Заметим, что Д = f^\ Показать, что [а, Д] = [а, 1^1-
3.6. Доказать следующие соотношения коммутации для бозе-операторов:
[а^а, а~^т] - та^гт, [а~^а, ат] = - тат,
где т. - целое число.
0 3.7. Показать, что если | 0> - состояние вакуума бозонов и х -
параметр, то справедливо следующее равенство:
ега/(а+)|0> =/(а+ + х)|0>,
при условии, что функцию / (а+) можно разложить в степенной ряд по бозе-
операторам я~К
" 3.8. Показать, что для бозе-операторов имеет место равенство
exa+af (e+) | 0> = / {а+еХ) j 0><
190
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
3.9. Показать, что если х - параметр и т - целое число, то имеют место
следующие соотношения:
3.10. Доказать теоремы 14 и 15.
3.11. Показать дифференцированием, что выражение (3.118) является
решением уравнения (3.104).
3.12. С помощью техники нормального упорядочения решить уравнение
Шредингера для двух связанных осцилляторов с гамильтонианом (3.125).
Представить унитарный оператор U (t, 0) в нормальной форме.
3.13. Показать, что оператор V (t, f0) в формуле (3.119) унитарен для
всех моментов времени.
3.14. Показать, что функция А (t) из формулы (3.117) удовлетворяет
следующему соотношению:
мые пары бозе-операторов.
3.16. Показать, что если подействовать оператором / из задачи 3.15 на
состояние вакуума | 0>о | 0>ь = | 0, 0>, где а \ 0, 0> = = Ъ | 0, 0> = 0,
то получим
ехаа+т = (о+ + х)п еха = N {(а+ + х)т ехр (ха)}, еха+ат = (а - х)т еха+.
3.15. Найти нормальную форму оператора / = е^аЪет+ь+,
если ^ит| - параметры и величины (а, а"^) и (b, 6+)- две независи-
1
/ I 0, °> = ^ - ехр
( гpz+6+ ^
I 0, 0>.
Глава IV
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
4.1. Введение
В опытах по интерференции и дифракции световых лучей проявляются волновые
свойства света, в то время как при поглощении и испускании атомами свет
проявляет корпускулярные свойства. Теория излучения может считаться
удовлетворительной лишь в том случае, если она единым образом объясняет
оба этих противоречивых свойства света. Впервые такую теорию создал
Дирак.
В настоящей книге мы не будем углубляться в фундаментальные понятия
квантовой теории поля или квантовой электродинамики. Мы интересуемся
