Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. Ill
теоремы 9. Из этой теоремы следует, что
g-io> (f-to) о+dgC (t) o+ __
= exp [C (t) e-ia ('-'о)д+] e~ia "-" 0+0 , (3.120)
так что (3.119) можно записать следующим образом:
U (t, t0) = ел Фехр [С (t) e~iu> e~iu> °+а ев <f)a. (3.121)
Наконец, с помощью (3.68) представим U в нормальной форме:
tf(n)(Mo) =
= еА {ехр {С (t) e~im В (t) а -f- [e~ico - 1 ] а+а}}.
(3.122)
Очевидно, что с помощью формул (3.119), (3.121) и (3. 122) одно и то же
решение получено в различных формах. Если бы мы решили эту задачу прямо,
используя уравнение (3.95) и экспоненциальное преобразование (3.113), то
пробную функцию следовало бы выбрать в виде
G (а, я+) = D (t) + Е if) а + F (t) а+ -[- К (t) а+а, (3.123)
и тогда мы сразу получили бы функцию U в нормальной форме.
Другая, более общая техника, предложенная Фейнманом [20] для решения
уравнения Шредингера в случае неконсервативных систем, использует
представление об упорядочении во времени. Она очень полезна в квантовой
электродинамике. Однако для решения тех задач, которые мы рассмотрим в
дальнейшем, техника нормального упорядочения оказывается вполне
достаточной. Действительно, для доказательства некоторых наших теорем
можно было бы использовать теорему Вика [21,-22], которая устанавливает
соотношение между упорядочением во времени и нормальным упорядочением. К
сожалению, мы не будем обсуждать эти вопросы подробнее, потому что
аппарат, который используется для их рассмотрения, довольно сложен.
Простота решения уравнения Шредингера для гармонического осциллятора с
вынуждающей силой дает читателю некоторое представление об области
применимости
3.6] ДВЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ПАРЫ БОЗЕ-ОПЕРАТОРОВ 177
и полезности развитого нами метода нормального упорядочения. Когда в
последней главе будут рассчитываться средние значения операторов,
преимущества представления операторов в нормальной форме станут более
очевидными.
3.6. Уравнение Шредингера для двух независимых пар бозе-операторов
Если бы наши интересы были ограничены одним гармоническим осциллятором,
то развитый нами математический аппарат был бы вполне достаточным для
такой простой задачи. Однако далее (гл. VII) мы будем интересоваться
также системой связанных гармонических осцилляторов, которая является
квантовой моделью аттенюатора. Нами также будет рассмотрена модель
параметрического усилителя, в которой используются два связанных
гармонических осциллятора. В настоящем разделе мы рассмотрим
математический аппарат для решения задач такого типа.
Рассмотрим два независимых гармонических осциллятора. Пусть операторы а и
а+ описывают осциллятор с частотой оц и операторы Ь и Ь+ описывают другой
осциллятор с частотой со2. Эти операторы удовлетворяют соотношениям
коммутации для бозонов
Все остальные коммутаторы равны нулю: [а, &+] =
= [а+, Ь] = ... - 0. В силу независимости систем осцилляторов каждый из
операторов а, а+ коммутирует с каждым из операторов Ь, Ь+. Мы обобщим
теперь метод нормального упорядочения операторов таким образом, чтобы
можно было решить уравнение Шредингера для двух связанных гармонических
осцилляторов.
Запишем гамильтониан для двух слабо связанных осцилляторов. Он имеет вид
[11]
Н = ftcoja+a -[- Наф+Ь + Нк (а+Ь+ -j- ab), (3.125)
где к - коэффициент связи. В этом случае формальное решение для функции U
(t, t0) имеет вид
[а,а+\ = 1, [Ь,Ь+] = 1.
(3.124)
U (t, = ехр -
ill (t - to)
" h .
(3.126)
178
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
ибо гамильтониан Н не зависит от времени. Однако, как мы увидим в
дальнейшем, эта форма решения очень неудобна для расчета средних значений
операторов. Гораздо более полезна нормальная форма для функции U. Поэтому
задача состоит в том, чтобы привести функцию U к нормальной форме так,
чтобы можно было представить ее в виде разложения по нормальным
произведениям*
С7(") = 2 Ulmpq(t)a+%+Pa(3.127)
i, m, р, q
Здесь в каждом члене операторы рождения расположены левее операторов
уничтожения.
Обобщая очевидным образом результаты предыдущего раздела, можно записать
уравнение для в виде
лт r.fe dU(n) 1 N\lh-dT-\ =
= N{h ("+, " + Щ 5 + ,,) ?A">). (3.128)
Решение этого уравнения будем искать в виде
U = exp{G(t,a,a+,b,b+)}, (3.129)
где G выбирается в виде разложения в степенной ряд G = A (t) + В (t) а +
С (t) а+ + D (t)[b + Е (t) b+ ... (3.130)
Мы предоставляем читателю в виде упражнения найти нормальную форму
функции U в случае двух связанных осцилляторов. Эта задача упрощается в
представлении взаимодействия.
Возможно, следует отметить, что
д3 п 1 ff-G dG 80 \ Гг
да+дЪ+ 6 _ V да+дЪ+ да+ дЪ+ )
Это соотношение обычно возникает в таких задачах.
3.7]
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
179
3.7. Производящая функция для собственных функций осциллятора. Волновой
пакет с минимальной неопределенностью
Мы применим некоторые развитые ранее методы для того, чтобы получить
производящую функцию для собственных кет-векторов | п> гармонического
осциллятора в координатном представлении. Затем мы покажем, что эта
