Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
единичный тождественный оператор.
Из определения оператора N следует, что в скобках после символа N все
операторы рассматриваются как с-числа. В каждом члене разложения в
степенной ряд все операторы рождения перемещаются палево, а все операторы
уничтожения - направо; в результате получается некоторый новый оператор.
(Ясно, что можно определить и обратный оператор TV-1.)
Для того чтобы понять, как выглядит действие оператора N на практике,
применим этот оператор к нескольким функциям от а и а+.
Пример 1. Положим
N {ата+1} = а+1ап,
N {с/ (а, а+)} = cN {/ (а, а+)},
(3.31а)
(3.31Ь)
N {с} = cl,
(3.31d)
/ (а, а+) - а.
*) Оператор нормального упорядочения не надо путать с оператором числа
частиц, введенным в гл. II. Употребление этих операторов ясно из
контекста.
3.3J
НОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
153
Тогда из (3.31а) следует, что
N {f (а, а+)} = N {а }= а f (а, а+).
В этом случае N {/} тождественно равно /; при этом
N {/} имеет ту же самую функциональную форму, что
и /.
П р и м е р 2. Положим
Д(а,а+) = аа+, Д (а, а+) = а+а.
В этом случае из (3.31а) следует, что
N {Д (а, а+)} = N {аа+} = а+а =f= Д (а, а+),
N {/2 {а, а+)} = N {а+а} = а+а = /а (а, а+).
Мы видим, что хотя Д =Д Д, но N {Д} = iV {Д} = Д. Снова используем символ
тождества для того, чтобы отметить то обстоятельство, что две величины не
только равны как операторы, но и имеют одинаковую форму. Пример 3.
Положим
Д = аа+, Д = а+а -f 1.
Из соотношения коммутации следует:
Д = Д)
но функции Д и Д не тождественно равны, так как их функциональные формы
различны. Если мы применим оператор N к функциям Д и Д и используем
соотношения (3.31а) и (3.31 d), то найдем, что
^ {Д} = N {аа+} = а+а =j= Д,
^ {Д} = N {d+a -f 1} = а+а -f 1 = Д.
В этом случае
{Д} Ф N {Д} 3 Д,
хотя Д = Д.
Пример 4. Положим
Д = аа+а, Д = а2а+ - а, Д = а+а2 -ф а.
Используя условие (3.29), можно легко показать, что Д = Д = /3, но
никакая пара этих величин не имеет
154
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. ПТ
одинаковой функциональной формы. Далее получаем
N {Д} = N {аа+а} = а+а2 =f= Д,
N {Д} = N {а2а+ - а} = а+а2 - а =Д Д,
N {/3} = N {а+а2 + а] = а+а2 + а = /3.
Как видим, опять N {Д} ф N {f2} ф N {Д} = Д, хотя Д=/2 = /3.
П р и м е р 5. Положим
Д = аа+а, Д = а"а+, /3 -= а+а2.
В этом случае Д ф Д =Д /3, но
лЧД} = лЧД} = лч/з}^/3-
П р и м е р 6. Если а; - параметр, то
N {ехр {za+a)} = A j 2 = 2
п=0 п-О
Из этих примеров видно, как оператор N применяется па практике.
Рассмотрим теперь некоторую функцию / (я, а+). Если для этой функции
N {/<"> (а, я+)} = /<") {а, а+), (3.32)
то по определению эта функция задана в нормальной форме и она
обозначается в этом случае как /(п) {а, а+). Таким образом, если после
применения оператора N форма функции остается неизменной, то функция
задана в нормальной форме. Индекс (п) означает, что функция Дп) {а, аР)
представляет собой сумму членов, каждый из которых является нормальным
произведением операторов а и а+.
Рассмотрим снова предыдущие примеры. В примере 1 функция / = а задана в
нормальной форме, так как IV {/} = /. Поэтому можно записать, что Д") =
а. В примере 2 ЛДД} = Д, и поэтому /2П) = а+а. В примере 3 Д(") = а+а + 1
= Д. Таким образом, можно использовать один и тот же символ Д = Д = / и
записать
f = аа+ = Дп) = а+а + 1.
3.3]
НОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
155
Но функции / и /<п) имеют различные функциональные формы. В примере 4 / =
/1 = /2 == /3 = /(п). Но только функция /з тождественна /<п) и поэтому
представлена в нормальной форме; функции Д и /2 не представлены в
нормальной форме, хотя они равны нормальной форме. В примере 5 имеем /Зп)
= а+а2 = /3. Пример G мы обсудим в лемме, которая следует за теоремой 10.
Мы условились, что функция задана в нормальной форме в том случае, когда
применение оператора N не изменяет ее. К сожалению, когда функция не
задана заранее в нормальной форме, это определение не помогает
преобразовать ее к нормальной форме. Большая часть следующего раздела
будет посвящена методам преобразования функции /(а,а+) к нормальной
форме. Очевидно, что нормальная форма /<п> равна /, т. е.
/(а, а+) = /<"> (а, а+) == N {/<"> (а, а+)},
но в общем случае функциональные формы / и /<п) различны.
Проиллюстрируем процесс приведения функции к нормальной форме методами,
которые имеются сейчас в нашем распоряжении.
Пример 7. Положим / = а а+. Из соотношения (3.29) видно, что
/ = аа+ = а+а + 1 = /<7г).
Таким образом, функция / приведена к нормальной форме. Нормальная форма,
конечно, отличается от функции, которая получается при применении
оператора N к /. Действительно,
Пример 8. Положим / = аа+2а. Чтобы привести это выражение к нормальной
форме, нужно переместить оператор а+2 налево, используя условие (3.29). В
результате получаем
/ = аа+2а = (а+а 1) а+а = а+аа+а + а+а =
= а+ (1 + а+а) а + а+а = 2а+а + а+2а2 = /<п>.
Таким образом, выражение / преобразовано к нормальной фор е.
156
ОПЕРАТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. III
К сожалению, этот процесс практически невозможен для сложных функций.
