Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
$i + ... + Sn = 0, Єї + ... + En = 0, (13)
выражающим постоянство общего количества материи и энергии; благодаря им протяженность Cl сводится к другой Cl', имеющей только 2п — 2 измерения.
110
Примечания автора
3. Предположим, что в пространстве Qr вводятся 2п — 2 координаты, связанные с ^i, ... , Sn линейными уравнениями. Дифференциалы этих координат послужат нам для определения элементов dCt', величина которых измеряется обычным образом произведением этих дифференциалов. Для каждого элемента dCt' функция F имеет определенное значение, которое обозначаем через Fсогласно началу Больцмана вероятность точки находиться в элементе dCt' пропорциональна
S0-F'
е к dn'
или же
е к dn'.
Отсюда следует, что среднее значение какой-либо величины зависящей от ^i, ... , єп, дается формулой:
F1
f (ре к dfl'
Je к dn'
Заметим здесь, что второй член этого уравнения не изменяется, если заменить dCt' на произведение дифференциалов 2п — 2 координат — произвольных линейных функций первоначальных координат. Действительно, при такой замене переменных можно отбросить в числителе и знаменателе одинаковый постоянный множитель.
В тех вопросах, которыми мы займемся, функция (р имеет особый вид. Это будет квадрат флуктуации, испытываемой в одном из объемных элементов — будем считать его первым — какой-либо величиной, например, диэлектрической постоянной или показателем преломления, зависящей от состояния материи. Таким образом, имеем
Ч> = з2?
где s — линейная однородная функция от <5i и от
4. Так как энтропия всей системы есть сумма энтропий, относящихся к объемным элементам dvi, ... , dvn, то можем написать
п п
F = fvdv» =dv • X]
U=I U=I
Примечание V
111
где fv — однородная функция второй степени переменных Sv И Ev. Мож-
вводя вместо Sv и Ev две новых переменных, должным образом выбранных, Xv и yv — линейных функций Sv, Ev. Важно заметить, что коэффициенты при S2, SvEv и E2 в первоначальной функции fv имеют то же значение для всех элементов объема. Коэффициенты в уравнениях, связывающих xv, yv с Sv, Ev и значения а и (3, также не зависят от значения V. В силу устойчивости равновесия а и /3 — положительны.
Что касается функции s, то ей можно придать вид:
5. Пространство Q1, очевидно, можно разложить на два пространства X и Y, соответствующие группам координат х\, ... , хп и г/i, ... , уп. Если в этих протяженностях принять во внимание соответственно первое и второе из условий (14), то они приводятся к двум протяженностям Xf и Y', имеющим каждая п — 1 измерений; их совокупность образует пространство ft'.
Приняв такие обозначения, получаем
но придать ей вид
fv = axl+Pyl,
s = ах і + byi,
а из уравнений (13) получаем
Xi + ... + хп — 0, у± + ... + уп — 0.
Ш)
Iе
или же
если положить
^dv = A, ^dv = B,
(15)
2 I I 2 Ґ 2 , I 2
X1 + ... + хп = f, V1 + ... + уп = Г].
112
Примечания автора
В интегралах мы написали и rf, дабы напомнить о том, что дело
идет о значениях ? и 77 в точке пространства
6. Легко видеть, что каждому элементу dX' протяженности X' соответствует другой равной величины, для которого координаты х\, ... , хп имеют те же значения с противоположными знаками (такое изменение знаков не противоречит первому из условий (14))- Отсюда следует, что Xiyі = 0 и, следовательно,
S2 = а2х\ + Ъ2у\. (16)
_ *АУ 1 -------
Нам нужно, таким образом, вычислить только средние значения х\ и у\, из которых первое дано выражением
/ x'je^^+^dX'dY'
1_ fe-W-B^dX'dY> '
Значок при х[ снова показывает, что нужно брать значение в точке пространства ft'.
Чтобы вычислить действительно нашу величину, мы заметим, во-первых, что каждый из интегралов распадается на два множителя, в которых интегрирование относится к Xf или к Y', и что один из этих множителей входит как в числитель, так и в знаменатель. Это нам дает
J 2 -Ai'
f Xf12е~74 dX'
гї - (,7)
Во-вторых, мы покажем, что вычисление этого выражения сводится к вычислению аналогичного выражения
fx?e~A('dX
в котором интегрирование распространено на неприведенную область X.
7. Вот как это можно доказать. Вместо координат х\, ... , хп, определяющих понижение точки в протяженности X, можем ввести п — 1 координату, относящихся к протяженности Xf, и координату q, не содержащуюся в Xf. Выбираем q так, чтобы перемещение в ее
Примечание V 113
направлении производило равные изменения всех х\, ... , жп, и чтобы значение q было
Х± + . . . + Xn
q =
Tl
Таким образом, протяженность X' характеризуется условием q = 0.
Пусть P — какая-либо точка пространства X и P' — соответствующая точка в X', причем прямая P'P дает координату точки Р. Если жі, ... , жп, ? относятся к P и х[, ... , #4, ?' — к P', то имеем:
ж і = х^ + (/, ... , жп = + q
и, так как + ... + = 0,
? = С' + nq2.
В интегралах формулы (18) можно заменить dX на dX' dq-, тогда находим, произведя интегрирование по q, для знаменателя
+ OO
J е~М' dX' J е~Атf dq = J е~М' dX',
