Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
— оо
и для числителя
+оо
J Xf12е dX' J е Anq dq +
— оо
+ OO
+ J е dX' J (2x[q + q2)e Anq dq =
— oo
/? I dx' + sfjk / e~M' dx‘-
Беря отношение и пользуясь формулой (17), получаем:
Q~Xl + 2An, Xl~Q 2Ап
8. Нам остается вычислить значение (18), что не представляет никаких затруднений. Здесь можно заменить ? на х\ + ... + X2n, dX —
114 Примечания автора
на dxі ... dxn. Каждый из двух интегралов распадается на п множителей, из которых п — 1 совпадают в обоих интегралах. Окончательно имеем:
+ °° /!„2
/ х\е
Q =
о —Ахл dxi
— оо
+r°° -Axldx1 2А’
J е
— OO
1
/v»2 _
*ЛУ 1 -----
1 2Л 2Ап
или, так как п очень велико,
также имеем:
_ _J_.
1 “ 24’
у? = 1
2Б
и по формулам (16) и (-/5):
ч2 _ 1 (С? , ^ _ _А_ . ^
2U В/ 2йДа /3/'
9. Чтобы уяснить себе значение этого результата, вспомним сперва, что изменение плотности и энергии, отсчитываемые от равновесного состояния, происходящие в элементе объема dv (мы можем теперь отбросить значок 1), мы полагали сперва зависящими от S и є, а затем от х и у. Функция
-/ = ~{ах2 +Py2)
есть то, что может быть названо «квадратичной вариацией» энтропии, отнесенной к единице объема; я хочу сказать, что при разложении функции, представляющей энтропию, по восходящим степеням S и є или же X и у, — / есть квадратичная часть этого разложения. Если мы хотим, чтобы эта квадратичная вариация имела определенное отрицательное значение, например, —А, то мы должны положить
ах2 + (Зу2 = А; (19)
уравнение это есть эллипс, если хну принять за координаты точки.
Примечание V
115
С другой стороны, величина
s = ах + by
(20)
есть изменение рассматриваемой физической величины, происходящее от изменения ж, у. Ясно, что для всех точек прямой
ах + by = const
это изменение s имеет одно и то же значение, и что значение это возрастает по мере того, как эта прямая удаляется на большее расстояние от прямой
ах + by = 0.
(21)
После этих замечаний легко найти точки эллипса (19), для которых абсолютное значение s — максимум. Это те точки, в которых касательная параллельна прямой (21).
Координаты этих точек получаются из условия:
ах : Py = a : b
совместно с уравнением (19). Получаем:
х = —
а
а
N
У =
а
+ ъ-
а 13
а
и для максимума s\
'm,
= ах + by =
а это нам дает для S2 следующую формулу:
к
S2 =
2А • dv m*
Итак, можно сказать: чтобы вычислить средний квадрат флуктуации какой-либо физической величины и, нужно рассмотреть все состояния системы, для которых квадратичная вариация энтропии имеет
116
Примечания автора
заданную величину —А, и найти среди этих состояний то, для которого
изменение Uj максимально. Искомый средний квадрат равен квадрату
к
этой максимальной вариации, умноженному на . Конечно, произ-
вольно выбранная нами величина А не входит в результат, так как Sm пропорционально д/Д.
10. Правило, нами данное, отличается большой простотой, но есть обстоятельство, которое не следует упускать из виду. А именно: переменные, служащие для определения отклонения состояния системы от равномерного равновесного состояния при вычислении квадратичной вариации энтропии, должны быть выбраны надлежащим образом. Действительно, если величина / выражена сперва в зависимости от некоторых переменных х и у, а затем в зависимости от других переменных х' и у', обращающихся в нуль одновременно с х и у, и если разложить / по формуле Мак-Лорена по восходящим степеням х и у или х' и у', то квадратичная часть разложения не одна и та же для двух случаев. Для того чтобы это имело место, нужно, чтобы х' и у' были линейными функциями х и у.
В задаче, которой мы занимаемся, можно принять за переменные S и є или какие-либо линейные однородные функции этих величин, как например, переменные х и у, введенные нами в нашу выкладку. Такие «нормальные» переменные, как их можно назвать, характеризуются тем, что уравнения, выражающие постоянство количества материи и энергии, имеют вид формул (13) и (14) даже тогда, когда мы не пренебрегаем величинами второго порядка.
Если придерживаться такого ограничения в выборе переменных, то найденное правило применимо также к смеси с произвольным числом компонент; можно получить для таких систем флуктуации не только плотности и энергии, но также их состава.
11. Заметим еще, что для простого тела рассуждение, которым мы пользовались, может быть изменено следующим образом: вместо объемных элементов dv можно рассматривать равные элементы dmi, ... , dmn, на которые разбиваем всю массу. Чтобы определить состояние такого элемента, можно пользоваться удельным объемом v и энергией Е, отнесенной к единице массы. Изменения v и є этих двух величин — нормальные переменные; действительно, они обладают тем свойством, посредством которого мы охарактеризовали такие переменные. Между всеми состояниями, для которых квадратичная вариация
Примечание V
117
энтропии на единицу массы имеет данное значение —А, существует такое, для которого изменение s рассматриваемой величины максимум; квадрат этого максимума нужно умножить на
