Устойчивость вращающихся масс жидкости - Литтлтон Р.А.
ISBN 5-93972-062-5
Скачать (прямая ссылка):
иметь
а это выражение является рациональным многочленом, только если п -
чётное.
Отсюда можно сделать вывод, что уравнения (22) являются согласованными, а
М равно нулю, когда п чётное. Если же п - нечётное, то М заведомо не
равно нулю.
Действительно, следовало бы ожидать, что М = 0 при чётном п, т. к. тогда
полное число корней п2 + Ап + 1 является нечётным, а поскольку корни
равны и противоположны по знаку попарно, то Л = 0 должна быть корнем. Для
нас самым важным случаем является тот, когда п = 3, и постоянный член,
следовательно, равен
Замечание. Когда в уравнениях, выведенных из (18) и (19), мы оставляем
только члены с А или только члены, не содержащие А, тогда требуемая
функция р обозначает, конечно, только ту часть первоначальной tp, которая
уравновешивает оставшиеся члены справа.
^_др_ = у_др а2 ду Ь2 дх'
|/
от комбинации Н-у, а поскольку tp является однородным много-
а2 Ъ-
2га+1
Д"(0) = М[] (Но - Нк), (М Ф 0).
1
1 Напомним, что полиномы 77, ? не зависят от переменной д. - Прим. ред.
Обыкновенная устойчивость эллипсоидов Якоби
207
9. Случаи, когда одновременно существуют обыкновенная и вековая
устойчивости
Теперь мы можем установить важный результат, что эллипсоид Якоби
становится неустойчивым в обычном смысле в тот же самый момент, когда
приобретает и вековую неустойчивость при смене знака характеристического
коэффициента устойчивости третьего порядка.
Если характеристический коэффициент устойчивости Сп порядка п мы
обозначим через Hq - H2n+i, тогда при Сп > 0, пока эллипсоид повсюду
устойчив, мы имеем предшествующий результат
Х2Х2 ...х2т = в(Н0 - Н2п+1) > 0, (23)
где можно допустить, что Ai < Аг < ... < Хт являются положительными
корнями Д"(А) = 0, а их число равно ш, причём 2т = п2 + 4п + + 1.
Поскольку в есть произведение М и оставшихся коэффициентов устойчивости,
не обратившихся в нуль, то оно изначально положительно и всегда должно
оставаться таковым. С другой стороны, для фигуры Якоби непосредственно за
критическим эллипсоидом мы должны иметь
Х2Х22...Х2т = в(Н0-Н2п+1) <0. (24)
Теперь по условию непрерывности только наименьший из корней, а именно X2,
может изменить свой знак, отсюда X2 должна стать отрицательной, Ai -
мнимой, а система - неустойчивой в обычном смысле.
Нет необходимости специально рассматривать возможность совпадения
наименьших корней X2 = А|, т.к. тогда член Xf был бы отрицательным, a Ai,
соответственно, комплексной, и экспоненциальные члены с вещественными
индексами появились бы точно также.
В конечном итоге можно отметить (стр. 138), что при гармонических
деформациях третьей степени угловая скорость в первом порядке малости не
меняется. Отсюда неустойчивость является истинной и не может быть
устранена посредством выбора системы координат с несколько другой
скоростью вращения.
Итак, нами доказана обыкновенная неустойчивость эллипсоидов Якоби за
точкой, в которой ответвляется грушевидный ряд.
Глава X Приложение к космогонии
1. Непродуктивность гипотезы деления
В соответствии с теорией деления, двойные звёзды обязаны своим появлением
распаду одиночной массы при вращении. Данная теория сталкивается с
некоторыми серьезными астрофизическими затруднениями, такими, как вопрос
об источнике требуемого углового момента, совместимо ли с распадом
распределение плотности в звёздах и их эволюция, можно ли с помощью этой
теории объяснить распределение отношений масс разделившихся частей и
также общую задачу о самой звёздной эволюции. Мы не будем обсуждать здесь
эти вопросы, а займемся только изучением собственно процесса распада на
чисто динамических, как предлагалось его сторонниками, основах.
Предполагаем, что существует общее вековое увеличение углового момента,
причём плотность остаётся однородной (и неизменной, Б. К.), поскольку это
равносильно постоянному угловому моменту с постепенно возрастающей
плотностью. Именно на таких предположениях основывали свои идеи о распаде
Дарвин и Джинс.
Теперь, как уже объяснялось во введении, если заключение Дарвина о том,
что грушевидная фигура обладает вековой устойчивостью, было бы верным,
вполне можно было бы предположить, что углубление перемычки с развитием
вдоль ряда (фигур равновесия, Б. К.) давало в конечном итоге намёк на
деление массы на две части, двигающиеся по орбитам вокруг друг друга
(хотя информация о начальной стадии этого процесса отнюдь не гарантирует
то, что сам грушевидный ряд позже не превратится в некоторую новую
форму). Но когда исследования Джинса, в согласии с результатами Ляпунова,
выявили противоречие с заключением Дарвина, то единственное
предположение, на котором Дарвин основывал свое описание процесса
распада, отпало1. Тем не менее, в итоге Джинс предсказал тот же самый
результат данного
1 I" этом вопросе Литтлтон, как уже отмечалось, неточен: на деле же
именно А. М. Ляпунов первым доказал вековую неустойчивость критического
эллипсоида
Приложение к космогонии
209
процесса, что и Дарвин, а именно распад на две отдельных массы,
