Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Г-* Гу
(см. подробнее п. 28.1). Однако подобная расходимость может н не
возникать в некоторых, приближенно рассматриваемых трехмерных случаях,
например в модели беспорядка замещения, если, как было отмечено, оставить
в ней только одну зону конечной ширины. Такая процедура эквивалентна
переходу от непрерывного уравнения (1.1) - (1.3) к эффективной дискретной
модели (1.5) на решетке периодов потенциала Un(г), и поэтому
17
неудивительно, что сосредоточенная в одной точке функция уже не является
сингулярной.
В рассматриваемом круге вопросов потенциал, сосредоточенный в одной точке
(дискретный или непрерывный), интересен еще и потому, что, будучи
оператором умножения, он в то же время представляет собой простейший
пример оператора проектирования ранга 1, т. е. оператора, переводящего
произвольную функцию в одну и ту же, помноженную на число -проекцию.
Общий случай такого оператора, часто оказывающийся весьма удобной моделью
однопримесного возмущения, имеет вид
(Рф) (г) = <р (г) J (г') ф (г') dr', (1-20)
где функция ф (г), на которую проектирует Р, предполагается достаточно
быстро убывающей и нормированной на единицу. Возможность использования
таких нелокальных операторов В одночастичных задачах физики
конденсированного состояния вытекает, например, из следующего.
Существующие в настоящее время способы сведения задачи многих тел к
одночастичной (например приближение Хартри -Фока и другие приемы
расцепления бесконечных цепочек уравнений или суммирования определенных
классов диаграмм), как правило, приводят к нелинейным интегральным
уравнениям для эффективной одночастичной волновой функции или функции
Грина. Если в таких уравнениях возможна линеаризация, то в результате
возникает уже линейное, но по-прежнему интегральное уравнение (а не
локальное, как уравнение Шредингера). Наконец, если мы интересуемся
определенным интервалом энергий, то ясно, что при определенных условиях в
билинейном разложении ядра этого интегрального уравнения, моделирующего
один атом каркаса, могут оказаться существенными лишь несколько
слагаемых. Оператор вида (1.20) и есть простейший случай подобной
ситуации, когда достаточно ограничиться только одним слагаемым (последняя
процедура и была фактически проделана при переходе от (1.1) к (1.5) и
(1.11)).
Ниже мы убедимся, что возмущения типа (1.20) описывают также локальные
возмущения упругих констант в уравнениях колебаний и т. п. Поэтому
оператор вида
H° + U, (1.21)
где Н° - трансляционно инвариантный оператор, диагональный в к-
представлении, <к | Н° | к'> = Е (к) б (к - к'), а
U = 2"/Р/, Р/НфуХф/1. Ф/ (0 = ф (г - гу), (1.22) ;
представляет собой по существу столь же содержательную, но зачастую даже
более простую, чем (1.1)-(1.3), одночастичную модель неупорядоченной
системы. В частности, она допускает,
18
подобно одномерному случаю с f(x) = б (я), простую редукцию к дискретной
модели (1.11), а каждое слагаемое "у Ру приводит к возможности отщепления
не более одного "примесного" уровня от затравочного непрерывного спектра,
причем в зависимости от выбора Uj этот уровень может быть помещен в любую
заданную точку энергетической оси. Все это свидетельствует о достаточной
качественной общности модели (1.21)-(1.22).
Все фигурировавшие выше дискретные модели возникали как результат
некоторого упрощения непрерывных. Обсудим теперь неупорядоченные системы,
которые с самого начала описываются дискретными уравнениями и связаны,
как правило, с классическими задачами. Такой системой является прежде
всего неупорядоченная кристаллическая решетка, уравнение гармонических
колебаний которой в простейшем случае одноатомной решетки имеет вид
2 я2"?,"4.+2 2 и?-п,. =мЛ2. (1.23)
тп, р /' т, р 1 J
Здесь М-масса атомов идеального беспримесного (возможно, эффективного)
кристалла, -его динамическая матрица,
со2 играет роль энергетического параметра, а операторы Uy с элементами
Un-tij, m-пу являются локальными, т. е. охватывающими только близкое
окружение узла Пу возмущения. Если такое локальное возмущение создается
примесью, представляющей собой атом изотопа, то Uy диагональны и имеют
вид
Uf,m= (1.24)
где 6 = (АГ - М)1М и ЛГ-масса изотопа. Поэтому в данном случае добавку к
трансляционно инвариантной части в (1.23) можно записать в виде,
аналогичном (1.3):
и = 2 и, = M"(0>2 С"Р", (1.25)
/ П
где с" - такие же, как и в (1.3), случайные "числа заполнения", но теперь
случайное возмущение хотя и является суммой одномерных диагональных
операторов проектирования, но их амплитуда оказывается, так же как и в
(1.19), зависящей от энергетического параметра.
В случае локального, обусловленного примесью, изменения упругих констант,
что возможно как в неизотопических сплавах замещения, так и при
моделировании искажений решетки в сплавах внедрения или за счет вакансий,
диагональная форма оператора Uy в г-представлении, вообще говоря, уже не
имеет места, поскольку она несовместима с равенством нулю сил и
