Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение мы благодарим Т. Н. Анцыгину и В. А. Слю-сарева, совместно с
которыми написаны п. 10.2, §§ 11 и 13, а также А. Л. Эфроса за|целый ряд
полезных замечаний, способствовавших ее улучшению.
Авторы
Глава I
ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ
Обсуждение общих положений теории мы начнем с описания объекта, который в
современной физике конденсированного состояния принято называть
неупорядоченной системой. Говоря о такой системе, прежде всего имеют в
виду, что существует относительно жесткий "каркас" (например, положения
равновесия тяжелых частиц в твердом теле), на фоне которого реализуется
динамика более быстрых степеней свободы (электроны проводимости,
экситонные и спиновые возбуждения, колебания атомов и др.). Каркас не
обязательно является жестким, но время его перестройки должно быть велико
по сравнению с характерным временем быстрых процессов ("мгновенный
каркас" в жидкости также может удовлетворять этому требованию).
Неупорядоченность системы в том смысле, в котором это понятие
употребляется в физике конденсированного состояния, связана с
апериодической случайной структурой этого каркаса. В твердом теле
неупорядоченность при низких температурах есть следствие неравновёсности
такой структуры, но время ее существования обычно чрезвычайно велико.
Представляющая самостоятельный интерес задача о квантовом движении
частицы в случайном потенциальном поле, так же как и задача о
классическом распространении волн в среде со случайно распределенными
параметрами оказываются в широком классе случаев хорошими эффективными
моделями возбуждений в неупорядоченных системах. Именно эти модели и
являются в дальнейшем основными объектами исследования.
Существует ряд общих закономерностей, присущих всем неупорядоченным
системам. Прежде всего, это свойства пространственной однородности в
среднем и отсутствие корреляций между значениями характеризующих
неупорядоченность случайных параметров (например, случайного потенциала в
уравнении Шредингера) в бесконечно удаленных друг от друга точках. Одним
из наиболее важных вытекающих отсюда следствий является самоусред-
няемость удельных экстенсивных физических величин, состоящая в том, что
эти величины, будучи случайными в конечной системе, стремятся в
макроскопическом пределе к определенным неслучайным значениям. Из
указанных выше свойств следуют также некоторые общие утверждения о
структуре спектра квази-
9
частиц (существование истинных границ спектра, густота дискретного
спектра, критерий его существования, т. е. локализации состояний, и т.
д.).
В § 1 содержится краткое обсуждение типичных и часто используемых
одночастичных моделей неупорядоченных систем. Этот параграф имеет в
основном иллюстративное назначение, так как число моделей, подходов и
задач в современной теории неупорядоченных систем весьма велико, и даже в
этой книге их больше, чем перечислено в § 1. Свойства пространственной
однородности в среднем и исчезновения корреляций сформулированы в § 2.
Там же проверено их выполнение в системе, неупорядоченность которой
порождена случайным примесным потенциалом. В § 3 доказана
самоусредняемость плотности состояний, спектральной плотности и удельной
проводимости. Спектральные следствия свойств пространственной
однородности и исчезновения корреляций обсуждаются в § 4. Здесь же
описана общая качественная картина спектра неупорядоченных систем.
§ 1. Выбор и обсуждение моделей
1.1. Модели. Неупорядоченные системы в зависимости от вида и степени
беспорядка в строении их каркаса можно разделить на два класса. К такому
разделению мы естественно придем, если учтем, что идеальный кристалл,
состоящий в общей ситуации из атомов нескольких сортов, характеризуется
как геометрической правильностью положений всех точек каркаса, т. е. его
трансляционной упорядоченностью, так и регулярностью расположений атомов
различных сортов, т. е. композиционным порядком. В соответствии с этим к
первому классу отнесем такие неупорядоченные системы, в которых
отсутствует лишь вторая из указанных двух симметрий. Простейшим примером
такой системы является неупорядоченный твердый раствор замещения. При
этом, если атомы растворяемого вещества имеют существенно отличающиеся от
атомов растворителя радиусы, то параметры решетки раствора могут
отличаться от параметров решетки чистого растворителя (матрицы).
Сказанное в еще большей степени относится к случаю, когда дефектами,
приводящими к неупорядоченности системы, являются междуузельные атомы или
вакансии. В этом случае нарушения решетки в ближайшей, захватывающей
несколько первых координационных сфер, окрестности дефекта могут быть
весьма значительными, однако в целом такие точечные дефекты не могут
нарушить топологию и геометрию трехмерной решетки, и поэтому в среднем ее
периодическая структура сохраняется. В силу этого при построении
теоретической модели можно считать, что во всех подобных случаях имеется
идеальная (возможно, эффективная) кристаллическая решетка, а
