Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(Е) = 0, то при всех и и таких h > 2Д, в которых /(/*)> 0, имеем g(u,
h)=g(u) F(h), а тогда согласно (10.8) P (z, h)*= P (z)F (h). Но нетрудно
убедиться, что такая функция при кйФ 0 не может служить решением
уравнений (10.7), если , только существует интервал, с длиной, не меньшей
nj]/~E, на котором /(й)>0. Таким образом, равенство у(?)^=0 означает, что
при этой энергии k0(E) = 0. С другой стороны, рассматривая рассеяние
падающей слева волны на симметричном потенциале и(х), найдем, что
соответствующий коэффициент прохождения ?& имеет вид S) = k2[(s'c'-\-
k2sc)z-\-k2]~l. Отсюда и из (10.6) вытекает, что равенство k0 (Е) = 0
эквивалентно равенству SD = 1, показывающему, что при данном значении
энергии Е волна проходит барьер не рассеиваясь, т. е. без уменьшения
амплитуды. Например, для прямоугольного барьера ширины L и высоты Ц0 эти
энергии равны ?/" + ti2n2/L2, пр= 0, 1, ... (см. [116]).
Таким образом, мы установили, что для потенциала (10.3), в котором
плотность вероятностей расстояний у-2г0 положительна на некотором
интервале длины, не меньшей л/|/Е, показатель экспоненциального роста
у(Е) может обращаться в нуль
132
лишь при таких значениях энергии, при которых коэффициент прохождения
отдельного рассеивающего центра равен единице. Поскольку эти энергии
являются изолированными точками, число которых на единичный интервал
энергий по порядку величины не больше чем rJY~E при больших Е, то ясно,
что их наличие не изменит справедливости сделанного выше вывода о
совпадении предела (ЮЛ) с у(Е) при почти всех энергиях. Кроме того, эти
энергии исчезнут, если потенциал и(х) отдельного рассеивателя может хотя
бы незначительно флуктуировать. Существуют потенциалы, для которых такие
энергии вообще отсутствуют. Простейший пример доставляет многократно
встречавшийся потенциал, образованный точечными рассеивателями, для
которого u(x)=k0b(x). Он соответствует г0 - Д = 0 и &0, не зависящему от
?, в написанных выше формулах. Поэтому для него у (Е) может обращаться в
нуль только за счет того, что множество значений, которым соответствует
${у)ф 0, оказывается слишком "измельченным".
Пусть, например, f(y) =*^fnb{x-па) (сходный потенциал в п. 6.6
П
рассматривался как модель случайного сплава). Покажем, что для него
значения энергии Еп = п*п2/а2, п- 0, 1, ..., при которых между отдельными
рассеивателями укладывается целое число полуволн, приводят к у(?') = 0.
Действительно, непосредственной проверкой легко убедиться, что при таких
Е функции /
sin \kn (х-ja)] и 2 ki^s[kn(x-ia)], гд ek%=En, <(/+1)я
i- 1
и kt равно k0 или 0 в зависимости от того, занят узел i рас-, сеивателем
или нет, образуют пару линейно независимых решений уравнения Шредингера.
Но = k0N, где N - число рас-
i
сеивателей на интервале (О, L), и при L --оо отношение числа
оо
рассеивателей к числу узлов стремится к с- 2 П!п• Поэтому
п = О
г (х) растет не быстрее, чем линейно, а значит, у(?)=0.
Изложенный выше способ доказательства положительности показателя роста у
(Е) может быть применен в весьма широком классе случаев. Так, этим
способом может быть доказана положительность у(Е) для случайных
потенциалов, которые кроме свойств пространственной однородности,
изотропии и ослабления корреляций обладают еще свойством конечной
марковости. Оно предполагает, что либо сам потенциал является марковским
процессом (как это было в случае стохастической модели Кронига - Пенни из
§ 6), либо становится марковским после добавления конечного числа
параметров hlf h2, ..., hn (выше таким параметром была величина h (х),
задающая расстояние от данной точки до ближайшей слева точки с 6-
функцией). В силу этого статистические свойства многокомпонентной
случайной функции U(x)=
133
= {t/ (л;); hiix), ...,hn(x)\ при x > x0 однозначно определены, если
известны ее статистические свойства в точке х. Аналитически это
выражается в том, что для плотности вероятностей величин г (х), U (х)
можно написать уравнение типа Фоккера - Планка, вид которого и позволяет
получить для у (Е) представление, аналогичное (10.11). Рассмотренные выше
потенциалы, а также многие другие, используемые в качестве моделей
одномерных неупорядоченных систем, имеют описанные свойства.
Рассуждения, идейно и в значительной мере технически близкие к
использованным, позволяют установить экспоненциальный рост решений и для
уравнений, отвечающих одномерным дискретным моделям с взаимодействием
ближайших соседей [95], а также в двухзонной модели, вычислению плотности
состояний в которой был посвящен § 8.
10.2. Высокоэнергетическая асимптотика показателя роста и метод
усреднения по быстрой переменной. Согласно (10.2)
у(Е) = J гР {z) dz,
где Р (г) - стационарное распределение случайной величины г(х)= (лт)/яр
(л:). С другой стороны, согласно (6.9), (6.71) число состояний oJf (E)
тоже выражается через Р (г). Поэтому вычисление у (Е) в замкнутом виде
для всех Е, как и аналогичное вычисление off (?), требует, вообще говоря,
