Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(5.21):
У (*) = *" 28 (*-*,), (Ю.4)
/
уже рассматривавшийся при вычислении плотности состояний.
5 И. М. Лифшиц и др. 129
Записав уравнение Шредингера как систему двух уравнений I порядка и
представив ее решения в виде (9.3), можно убедиться, что если в интервале
(лу - /"<>, X/ + r") потенциал симметричен относительно его середины, то
матрица перехода G, связывающая W(xj - г0) с + имеет вид
г / 2"р + 1 2р \
u \2а(оф-{- 1) 2оф + 1 /
Здесь а = с'/с, P = cs, a s и с есть взятые в точке Лу-f г0
решения
уравнения Шредингера, которые в точке х;- удовлетворяют усло-
виям s = 0, s' = 1, с= 1, с' = 0. Из этого следует, что величина г(Лу +
Го) связана с z(x;-- г0) дробно-линейным соотношением, содержащим два
независимых параметра § и а (при фиксированной энергии E - k2).
С другой стороны, рассматривая в качестве потенциала 8-функцию с
амплитудой &0, окруженную с обеих сторон пустыми интервалами длины А,
найдем, что в этом частном случае матрица перехода такова:
[ cos 2 kA- ^sin2M sin 2М-|°8|П2?д\
G = ( 2* * * , (Ю.5)
у-k sin 2kA-k0 cos2 kA cos 2k A - (tm) sin 2k A J
т.е. тоже определяется двумя независимыми параметрами и А. При
фиксированной энергии их всегда можно выбрать так, что эти две матрицы
будут совпадать, откуда, в частности, вытекает соотношение
k0=2 (s'c' + k*sc). (10.6)
Но это означает, что при рассмотрении эволюции логарифмической
производной z(x) случайный потенциал вида (10.3) с четной и отличной от
нуля лишь в интервале | лг | < г0 функцией и (х) можно заменить
потенциалом вида (10.4), параметры которого k0 и А (напомним, что х;-+1-
Xj - t/j^ 2А) будут неслучайными функциями энергии, а случайные
расстояния tjj- 2А будут такими же, как в (10.3).
Таким образом, наша задача свелась к доказательству положительности
среднего значения величины z = ф'/ф для потенциала вида (10.4), в котором
плотность вероятностей f(y) случайных расстояний у j = xJ+1-х;- равна
нулю при у < 2А.
Выведем уравнение, которому подчиняется плотность вероятностей случайной
величины z (х) для такого потенциала. Это уравнение в интегральной форме
уже фактически фигурировало в § 6. Но в данном случае более удобной
оказывается его дифференциальная форма, которая получится, если сделать
вероятностное описание более детальным, задавая в точке х не только
величину z(x), но и h(x), где h(x) - А-расстояние от точки jt до
ближайшей левой точки, в которой имеется 6-функция. Совместная
стационарная плотность вероятностей этих величин Р (z, h)
130
удовлетворяет следующей системе уравнений:
±[(г'+Е)Р]-C(h)P = 0, (10.7а)
P(z, 0) - 5 С (h) Р (z, h) dh, (10.76)
о
P{z-kо, Д-О) = Р(г, Д + 0). (10.7в)
Здесь С (h) =а/(h)/F(h)t F(h)=^ f(hr)dh', т. e. C(h(x))dx есть
h
вероятность того, что в интервале (х, x + dx) имеется точка Х/ + 1 при
условии, что ближайшая слева точка х;- удалена на расстояние к(х) - Д.
Уравнения (10.7а) -(10.7в) имеют простой вероятностный смысл и описывают
стационарную вероятностную эволюцию пары (г (я), h(x)). Заметив, что z =-
г2 - Е + U (х), нетрудно убедиться, что при переходе от х к x + dx
имеются следующие возможности: а) точка (г, К) нашего пространства
состояний при &+= 0, Д может получиться только как результат непрерывного
движения из состояния (z + (z2 + Е) dx, h-dx); б) точка (г, 0)
получается в результате скачка из состояния (а, к)
для любого h, если справа от интервала (х, х+dx) на
расстоя-
нии Д расположен рассеиватель; в) точка (г, Д + 0) всегда получается из
(z - k0i Д - 0), поскольку при Л = Д в интервале (х, х + dx) находится 6-
функция, при переходе через которую логарифмическая производная z
получает приращение k0. Вероятности всех этих событий и записаны
равенствами (10.7). Легко проверить, что при Д =*0 и f(y) = /-1 ехр (-
yl'1) уравнения (10.7) приводят к уравнению (6.72) для P{z)= f Р (z,
h)~dh и z = kz.
о йг
Рассмотрим теперь функцию
g(u, h) = J eiuzP (z, h)dz. (10.8)
Для нее на основании (10.7) получаем такие уравнения:
(§[+с?) = 0' (10-9а)
00
g(u, О)=*$C(A)g(tt, h)dhf (10.96)
о
g(u, Д-0) eiuk<> - g (и, Д + 0). (10.9в)
Умножим второе из этих уравнений на g*(u, h)t возьмем от полученного
соотношения мнимую часть и проинтегрируем ее от
нуля до бесконечности. В результате придем к формуле
lmg*(0, (1+Cg)g*. (10.10)
о
Но согласно (10.8) g*(0, h) есть h)dz, т. е, плотность ве-
о
роятностей случайной величины h. Из уравнений (10.7), проинтегрированных
по а, вытекает, что эта функция равна l~lF(h), где
1 = ^ yf (у) dy, а из (10.8) видно, что ^ ^_о = i j* zP (z,h) dz. По-о
и~ о
этому после деления (10.10) на g*(0, h)*= l~xF(h) и интегрирования по h
слева, согласно (10.2), будет стоять как раз у(?) =
- J Р (а, К) z dz dh, а тогда
00 оо
О 2Д
Исключая здесь член ~|g|2 с помощью интегрирования по частям и
соотношений (10.9), приходим к такому представлению для у(Е):
v(?)=4Jf 1 f(hA&-fw-]^rw)'f(h')dh' 'dh• (1(Ш>
0 2Д Д
Это представление показывает, что если при некотором значении энергии у
