Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
существуют пределы
In Г. О (X)
Л ± оо"|ТГ(tm) = У± (Еу а' ^ ^ (9-2)
Эти пределы как функции а могут принимать значения]±у± (Е, [б/]), где
у±{Е [?/]) = max у± (Е, а, [?/]), и равенство (Е,а, [(/]) -
а
- - y± (?, [(/]) возможно только при одном значении а.
Сформулированные утверждения являются строгими математическими фактами
[74, 75] и представляют собой обобщение на матричный случай эргодической
теоремы, которой мы уже пользовались в §2 при доказательстве
самоусредняемости удельных экстенсивных величин. Напомним, что согласно
этой теореме для всякого функционала / [?/], заданного на реализациях
пространственно однородной случайной функции U (х), с вероятностью 1
125
существует предел lim ? ^ / [Т* U] dx, который в случае, когда
U (я) обладает свойством ослабления корреляций, является неслучайным и
равным </> (Т* - оператор сдвига, введенный в §2).
Если ввести величину
g(x1, х0; [(/]) = exp J f[TxU]dx,
дг о
то эту теорему можно сформулировать следующим образом: для всякой
случайной величины g(xly х0; [t/]), заданной на реализациях
пространственно однородной случайной функции U (х) и удовлетворяющей
соотношениям
ё С^'2> [^]) ё {%1> ^0> [^]) = g ('*'2" [^])>
g(xlt х0; [ТaU]) =g(xt-a, х0-а\ [?;]),
1) с вероятностью 1 существует предел lim L-1lng(L,0; [U])',
2) этот предел в случае, когда U (х) обладает свойством ослабления
корреляций, является неслучайным и потому равным lim L_1<lng(L, 0;
[?/])>.
L
Будем теперь рассматривать одномерное уравнение Шредингера как систему
двух уравнений первого порядка для двухкомпонентной функции ^F(x)=;
(ф(л:), ф' (х)). Тогда
W(x)^G(x, 0; [?/]) ЧГ (0), (9.3)
где G (jcXi х0] [t/]) - матрица II порядка, являющаяся решением уравнения
- Е o)G; G (*°" *°; [^]) " 1 ~ (о l)'
и удовлетворяющая соотношениям
G(a:2, хг\ [l/JJGfo, х0', [U]) - G(x2, х0; [U]),
G (лг15 х0; [ТaU]) = G{x1-a, х0±-а\ [U]).
Первое соотношение есть следствие уравнения (9.3), а второе вытекает из
пространственной однородности U (х). Так как г2 (х) ^(ЧГ, ЧГ) есть
квадрат длины вектора Ч*', то (9.2) можно сформулировать как следующее
утверждение: если случайная матрица обладает указанными свойствами, то в
каждой реализации существуют пределы lim [ х |"Чп (G (я, 0) Ч^, G(x,
0)Чго),
I х | ->оо
где - (sin a, cos а).
Ясно, что этот факт является матричным аналогом первого из утверждений
эргодической теоремы в том мультипликативном
126
виде, как она была сформулирована выше. Его полное доказательство
изложено в [74, 75]. Можно указать и аналог второго утверждения. Для
этого заметим, что величина у (?, а; [?/]) удовлетворяет вытекающему из
ее определения соотношению (здесь и ниже, когда речь идет об обоих
пределах у± (.Е) сразу, мы не пишем значки ±) у(?, а; [ТЛ?/]) - у (?,
а(х); [?Л), где а (х) -решение уравнения (6.2), такое, что а(0)~а.
Поэтому для у (?; [(/]) -max у (?, а; [?/]) имеет место формула
а
у(Е; [Тж1/]) = у (Е; [?/]), т. е. у(?; [t/]) является инвариантной
относительно сдвигов Тх случайной величиной. Но, как было объяснено в §
2, такая величина является детерминированной, если U (х) обладает
свойством ослабления корреляций. Поэтому для рассматриваемых случайных
потенциалов при фиксированных а и U величина у(Е,а\ [?/]) может принимать
два зависящих только от Е значения ±у{Е), аналогично тому как это было в
упорядоченном случае. Но в отличие от этого последнего, когда у (Е) было
равно нулю практически при всех значениях энергии, принадлежащих спектру,
здесь для весьма широкого класса случайных потенциалов у(?) больше нуля
при всех Е. Однако, прежде чем переходить к доказательству этого факта,
как раз и представляющего собой существенное отличие неупорядоченных
одномерных систем от упорядоченных, сделаем несколько замечаний.
9.3. Обсуждение изложенного подхода. Будем считать а и ? фиксированными.
Тогда, в соответствии с (9.2), в зависимости от реализации случайного
потенциала ф(х) будет вести себя либо как е?х, либо как е~^х. Если
реализуется вторая из этих двух возможностей, то это означает, что
рассматриваемое значение энергии является собственным значением уравнения
Шредингера на полубесконечном интервале с граничным условием,
определяемым одним из углов, а+ или а_. Но совокупность дискретных
уровней является весьма подвижным множеством, положение которого
изменяется уже при малых вариациях потенциала. Поэтому вероятность того,
что фиксированное значение Е попадет в это множество, должна быть равна
нулю (напомним, что для бесконечной в обе стороны одномерной
неупорядоченной системы аналогичный факт был установлен в § 4). Это
означает, что при заданных аи?с вероятностью 1 соответствующее решение
экспоненциально возрастает по мере удаления от точки, в которой задана
его логарифмическая производная.
Но для исследования локализации волновых функций необходимо фиксировать
угол а (точнее, а+ и а_) и реализацию случайного потенциала, а энергию
считать изменяющейся, чтобы выбором подходящего ее значения обеспечить
