Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
р1(Е)<^р2(Е) и плотность состояний описывается формулой (28.14) с учетом
перенормировки. В области Е - Ег^>Д2 в коэффициентах L и М можно
пренебречь, во-первых, ра по сравнению с рх и, во-вторых, вторым
слагаемым в выражении для М, которое согласно (28.12) дает вклад, по
крайней мере, в третьем порядке по с. Тогда из (28.17) получаем
Р (?) " Pi (Я) =
4л,2а3 $
E-EJ 1; я-
с"
Заметим, что главный член в этой формуле при Е -*¦ оо переходит в
выражение для плотности состояний упорядоченной системы. Оказывается, что
для к, при которых Е° (к) - Ег^> Да, перенормировка спектра такова, что
выполняется условие
(28.18)
где Е (к) = Е° (к) -f Re 2 (к), у (к) - Im 2 (к).
В обычных терминах, используемых при исследовании перенормировки спектра
квазичастиц в упорядоченных системах, это неравенство означало бы, что
состояния в рассматриваемой области спектра могут быть приближенно
описаны плоскими волнами *).
*) В неупорядоченной системе такая трактовка, на наш взгляд, несколько
условна* так как сдвиг энергии Re 2 (к) и затухание у (к) возникают в
диагональном элементе <бкк> усредненной функции Грина, в то время как
состояния не являются самоусредняющимися. Поэтому на основании
изложенного нельзя заключить, что разложение по степеням концентрации
позволяет описать переход от локализованных состояний к плоским волнам.
На самом деле
11*
311
При Е (к) - Ег Л2 закон дисперсии и затухание этих волн имеют вид
Е (к) - Е° (к)
А$с0
1 + с0 Ч\Е<> (к)/*"'
у (К)
пЕга3рх (Е° (к))
1 + С-г/"?о(к)/(^'
а рх^) описывается формулой типа (28.8).
В случае, когда я0 < О (с<!*=-х0), соответствующем виртуальному уровню,
граница сдвигается влево:
?r= -4пссо */sd?.
Здесь в переходной области | Е | Л3 = р2 (Е) pj (Е). При
этом второе слагаемое в выражении для М, как следует из (28.12), не равно
нулю:
Im 2,2) (0) = лс,г1' -Др.
В результате уравнение (28Л 7) после замены
4 С rj Cq (Ef " г) ^
вр1=2я^'# "1^1 =
ft
превращается в уравнение без параметров
Я4-ЕЯ2-(Я + 2я)2 = 0.
при 5 -"-00 [R (?)" VT , откуда "
У е-ег
4л2а3^
а при ?->- 00 /?(|)"2я/Уг-g, так что
Р(?)-?ЖЧ- ь*<Е'-Е<Ь-
Это выражение для плотности состояний справедливо вплоть до границы
переходной области, где существенный вклад дают уже не пары, а тройки
примесей.
28.3. Гибридная 5-^-модель. Рассмотрим теперь, следуя [194], более общую
модель, впервые предложенную в [195] и описывающую, например,
взаимодействие примесных ^-электронов с s-элект-ронами непрерывного
спектра. Пренебрегая корреляцией между
можно описать лишь плотность состояний, и это связано с тем, что парные
состояния "налезают" на "континуальные" и соответствующая плотность
состояний становится больше парной лишь в той области, где
"континуальные" состояния уже представляют собой практически плоские
волны. Вопрос о структуре состояний в этой области является существенно
более сложным [152 - 154] и требует для своего решения гораздо более
детального исследования.
312
электронами, вызванной кулоновским взаимодействием, гамильтониан модели
можно записать в виде
Н= S"--|n><m| + 2?02|,><,| +
т, п р
+ N-V. S (W (п-г ) | п> <р |+И7*(п- гр) | ру <п |). (28.19)
П, р
Здесь |п> и | ру-состояния s- и d-электронов соответственно,
локализованных на узлах л и тр, Ей-затравочный примесный d-уровень, Нп-т-
матричные элементы гамильтониана s-электронов в узельном представлении, а
функция W (г) описывает гибридизацию s- и d-электронов. Переходя к зонным
состояниям s-электронов
Jk> = N-1/* 2е-/кп[п>,
Л
приводим гамильтониан к виду н = 2 Е° (к) j К> <к I + Е0 21 Р> <Р 1 +
к р
+ N-V. S (W (к) е'"р | к> < р | + Г* (к) е~'"р | р> <к |),
К. р
где
?" (к) = Х*'"
п
- затравочный закон дисперсии зонных электронов, имеющий при к -> 0 вид
(28.10), а
П
%
Поскольку пространство электронных состояний в такой модели есть прямая
сумма к- и /?-пространств, плотность состояний
р (Е) = (jxNa3)-1 Im SpG может быть записана в виде
Р (Щ - Pi (?) + Ра (Е)>
где
Pi (Е) = (л Na3)":11 m 2 <Gkk >,
К
а
Р2 (Е) = (jiNa3)"1 Im 2 <Gpp>.
р
Исходя из уравнения для функции Грина
(? -H)G = I,
313
которое в матричных элементах приобретает вид
(?-?'(K))0..,-N-v.Sr (к) Лй,"= 8""
Р
(?-?*(k))G" -N-'/.S W'(k) e'"r,GPtP=0, (E-E,) G"Pl-N-v- 2 V*(к) <T %G,Pl
- 6№,
К
(E-E')<jp,-N-'/.2 Г* (к,) = 0,
"1
¦^2
и применяя с точностью до членов порядка с2 такую же, как и при выводе
(24.10) -(24.13), процедуру, получим замкнутую систему уравнений *):
<<5КК> = (Е - Е° (к) -2 (к))-1,
(28.20)
r| W (к) I2 eiKm
Am (DN) 1 2 Е-РЫ) -ЭД'
n-1S<g??>^(i + cEi4
AmA m
in - m
Нетрудно получить также и неперенормированное разложение диагональных
элементов средней функции Грина по степеням концентрации. При этом,
аналогично (28.11),
<Окк > = Е^?0 (к> + jK))2t (28.21)
а в остальных формулах (28.20) следует заменить D и Ат соответственно на
dw-?0-n-?I(tm), .
к ^
Положение локального уровня в рассматриваемой системе находится из
уравнения *
Д°(?л) = 0,
которое может быть представлено в виде
