Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Второе же, ^(к), соответствует состояниям в окрестности примесного
уровня, которые для zcfflin < | к | < /стах в соответствии с критерием
(28.18) являются токовыми. При этом в случае с<^с0У"|б| энергетическая
ширина Д4 этой области и граничные значения величины волнового вектора
и /стах
317
оказываются порядка
C2W2 _t.
а закон дисперсии примесных токовых состояний принимает вид
к / \ с- I с^а
?2(к)_Ед+е^_ео^.
Выше локального уровня Ел при Е-Ел^>Д* и ниже его при Е < Ея-Д4, где
концентрационная ширина Af определяется теперь равенством
Д4 - Ея-Е% (/w) ~ JWW, (28.27)
расположены парные флуктуацион-ные состояния. Их плотность [описывается
формулой типа (28.25). При W2 [ Ел | флуктуационная область простирается
практически до нижней границы перенормированных зонных состояний,
описываемых законом дисперсии Е1(к), где уже необходимо включать в
рассмотрение не только пары, но и тройки примесей.
г) Наконец, в случае квазилокального уровня Е0 > 0, б^>1, с0<с<4с0
)/|б| также имеются две ветви спектра ?1(2(к) (28.26), отвечающие при
определенных значениях к токовым состояниям (рис. 16). Между ними
возникает "квазищель", ширина которой имеет порядок характерной энергии $
и превосходит концентрационную ширину Дг (28.27) квазилокального уровня.
При условии Д4<<^№2/<? состояния внутри квазищели являются парными флук-
туационными состояниями. ___
Случай еще больших концентраций c0]/j б|<^с<^ 1 отличается от
рассмотренного лишь количественно. Подробности можно найти в оригинальной
работе [194].
Глава VII
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ СЛОЙ НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ СРЕДЫ
Процессы прохождения потока частиц или распространения волн через слои
случайно-неоднородных сред представляют собой важный и интересный класс
физических явлений в неупорядоченных системах. Задачи исследования этих
явлений весьма близки с точки зрения применяемого аппарата и поэтому,
хотя всюду ниже мы используем квантовомеханическую терминологию, все
основные соображения и выводы будут относиться и к волновому случаю.
В настоящей главе мы будем рассматривать падение (для простоты
нормальное) потока частиц единичной интенсивности и энергии Е на слой
неупорядоченной среды толщины L. Этот процесс описывается уравнением
Шредингера, потенциал которого отличен от нуля лишь в области, занятой
слоем. Однородному слою отвечает постоянный потенциал U0 (высота
макроскопически гладкого барьера), а неупорядоченность в простейшем
случае можно считать порожденной примесным потенциалом (1.3) или
(1.7) (хотя многие из содержащихся в этой главе результатов справедливы и
для потенциалов гораздо более общего вида). Нашей задачей является
нахождение усредненной по всевозможным реализациям потенциала
прозрачности слоя, представляющей собой отношение плотности потока
частиц, прошедших через слой, к плотности падающего потока.
Одна из основных трудностей, возникающих при решении этой задачи, состоит
в том, что прозрачность не всегда является самоусредняющейся величиной.
Различие между самоусредняющимися и несамоусредняющи-мися величинами
можно пояснить следующим образом. Именно, можно назвать типичными такие
реализации случайного потенциала (конфигураций примесей), для
которых|значения рассматриваемой величины Fl близки к своему наиболее
вероятному значению, определяемому максимумом ее плотности вероятностей
PL (F). Те же реализации, для которых FL находится в достаточно малой
окрестности своего среднего значения <.FL>, назовем репрезентативными.
Для самоусредняющихся величин, представляющих собой^отнесенные^к объему
системы величины, аддитивно зависящие ^от объема, все реализации при L-
+00 являются одновременно и типичными, и репрезентативными, и
319
соответствующая им плотность вероятностей имеет вид 8-функции,
сосредоточенной в окрестности <Fi>.
Статистическая природа несамоусредняющихся величин, среди которых нас в
первую очередь интересуют такие, которые подобно прозрачности
мультипликативно зависят от размеров, более сложна. Из-за такой
зависимости от размеров основной вклад в их средние значения дают
"хвосты" распределения вероятностей, и потому для подобных величин
множества типичных и репрезентативных конфигураций существенно
различаются. По этой же причине их относительные флуктуации не исчезают в
макроскопическом пределе, и потому статистическое описание таких величин
включает в себя большое число моментов или другую эквивалентную
совокупность параметров, задающих достаточно точно распределение
вероятностей. Получение столь полной информации является весьма сложной
задачей, решение которой даже в одномерном случае в настоящее время
известно лишь приближенно (при высоких энергиях, малых концентрациях и т.
п.). Поэтому нахождение </7i> как простейшей статистической
характеристики Fl, безусловно, имеет смысл, однако при этом необходимо
помнить, что для экспериментальной реализации этого среднего значения
могут понадобиться весьма специальные условия.
Поясним сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим одномерную
