Введение в теорию неупорядоченных систем - Лифшиц И.М.
Скачать (прямая ссылка):
+0(т))*
Такая зависимость при больших s имеет место в задаче с любым числом
измерений d, и поэтому
lim ц (s) =.• 2~da>d,
S-Voo
где (о^-объем d-мерного единичного шара (см. (17.5)).
т
Таким образом, функция (s) при s->00 имеет вид ln^±(s)^ - 2~do>dsd,
а плотность состояний
р"± (л) = /-"П (S) | т П (S) (27.23)
описывается формулой
In р" (tj) " ts-2~dcodsd.
(27.24)
Отсюда видно, что для размерности, большей единицы, р" (г]) при МНЛо! -
е~*Ч где
а при s -*¦ оо (| т) | -> 0) стремится к нулю, как ехр (-2~dadsd), -
провал в плотности состояний, описываемых нормальной систематикой [192].
Последнее обстоятельство указывает на то, что в области провала вклад в р
(т]) могут давать иные состояния.
Поскольку нормальная систематика при t00 описывает весь спектр,
состояния, заполняющие провал, должны получаться путем анализа того же
уравнения (27.14), но с учетом конечной, хотя и очень большой, величины
параметра t. В рамках нормальной систематики появление уровней с s^>l
связывалось с малостью отношения Qm/Qn-uv коэффициентов в (27.14),
обусловленной флуктуацией разрежения все увеличивающегося (с возрастанием
s) радиуса, а провал в плотности состояний при s-> оо возникал за счет
исчезающе малой вероятности таких флуктуаций. Чтобы увидеть иную
возможность появления аномально больших значений s, запишем QN в виде *)
^~1) "-угольников, состоящих из четного (-}-) и нечетного (-) числа
петель. Обозначая, как и ранее, меньшую из этих величин через L", а
большую-через для уровня т}, появляющегося в результате перехода П,-(I)
или Г" -*-Гт_2 (II), в
*) Такая запись возможна для так как в соответствии с
(27.14)
имеем Qj = 0, Q2j 8 < 0.
296
логарифмическом масштабе s = - t'1 ln | rj [ имеем
s = Lm-Lm-i~'(_1ln[l-¦ехр(- t(L^-LJ)] (I),
2s = Lm.2-ln [1 -exp (- i (L^-L"))] (II).
Как видно из этих формул, существуют две возможности получения состояний
с s^>l. Первая из них, учтенная в рамках нормальной систематики, связана
с большой величиной разности Lm~Lm_1(Lm-Lm_2). Вторая же реализуется в
случае совпадения минимальных периметров Lm и Ьйт контуров из четного и
нечетного числа петель с аномально высокой ТОЧНОСТЬЮ, ПОЭТОМУ СИС- /Рчч^
2С
тематику, описывающую такие состояния, мы будем называть /< аномальной.
Последнюю возможность нетрудно проиллюстрировать с помощью диаграмм,
использованных ранее. Правда, теперь они описывают переход между двумя
контурами Т^а) и Г^<2> с равным числом вершин и Рис- 10-
равными периметрами (на рис. 10
m = 5). Отметим, что состояния в аномальной систематике такие же, как и в
нормальной (т. е. локализованы на одном или двух центрах), поскольку они
определяются самими центрами, входящими вГ;и не входящими в а не
способом
их соединения.
Для подсчета соответствующих вероятностей и выяснения роли аномальной
систематики в формировании плотности состояний нам необходимо более
подробно, чем это было сделано выше, описать каждую диаграмму, задавая
кроме Lm еще и структуру минимального контура противоположной четности с
периметром L'm. Будем рассматривать для определенности диаграммы типа I и
введем функцию
± (х, У) = 2 I ехр [- щ, (х* хJ] (х1? ..., xj X
^ О/я
хб (х-(Lro-Lm_1)) б (y-(L'm-Lm))dxz,. .dxm,
где область QOT, в отличие от Qm из (27.20), учитывает также ограничения,
связанные со структурой контура Г^, а суммирование производится по всем
диаграммам типа I порядка т(^4), соответствующим определенному знаку
энергии т]. Вклад от таких диаграмм в плотность состояний р± (т]) имеет
вид
S оо
2 I dx \ dyР(^±{х, y)b{s-x-f ln[1 - exp(- ty)\\.
9 0 о
Поскольку t 1, учет зависящего от t слагаемого в аргументе б-функции
необходим лишь при очень малых (имеющих
297
порядок t"1 ехр (-ts)) значениях у. Поэтому в области у0 < у < оо, где у0
имеет порядок, например, t~2, этим слагаемым можно пренебречь.
Распространяя после этого интегрирование на всю полуось у, мы приходим к
функции
00
2 С у) dy, (27.26)
Я О
описывающей вклад в плотность состояний от диаграмм 1т ±, 4, отвечающих
нормальной систематике. Вклад от аномальной систематики связан с
интегралом по области малых значений у: 0 < у < у0. Выполняя здесь
интегрирование по у, получаем
s
5*'± (*) = 2 ^ е'иPi± (S-г. 0) dz. (27.27)
я о
Таким образом, вклады в плотность от обеих систематик выражаются через
одну и ту же функцию Р\д)± (х, у), что существенно облегчает дальнейший
анализ. Наличие экспоненты под интегралом в (27.27) приводит к тому, что
всюду, кроме области провала, вклад аномальной систематики в плотность
состояний пренебрежимо мал. То же самое можно сказать и об интегральном
вкладе
5 5>*± (s) ds = f->2 J pfl (*. 0) dx.
Я О
Далее, поскольку (s) при больших s имеет вид (27.24)
In (s) " -2~dd)dsd,
а нормальная систематика нечувствительна к величине у =* L'm-Lm, то
естественно считать, что In (х, у) при х -^ оо в главном порядке имеет
такую же асимптотику*):
In Pit (х, у) tt-2-d">dxd, 1. (27.28)
Этот факт избавляет нас от необходимости выписывать аналогичные (27.26),
