Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
определенные указанным выше образом дискретные энергии возбуждения
системы. Каждая из этих энергий отвечает определенному значению импульса
системы Рт, о чем свидетельствует наличие соответствующей 6-функции в
каждом полюсном члене функции Грина.
Нас, однако, интересует здесь функция Грина макроскопического тела. Это
значит, что рассматривается предел, когда объем V и число частиц N
стремятся к бесконечности (при заданном конечном значении отношения N/V).
В этом Пределе расстояния между уровнями системы стремятся к нулю, полюсы
функции G (со, р) сливаются и можно утверждать лишь, что эта функция
имеет мнимую часть при значениях со + ^ в непрерывной области возможных
значений энергии возбуждения системы. Исключение составляют, однако,
возбуждения, в которых весь импульс р макроскопической системы может быть
приписан всего одной квазичастице с определенным законом дисперсии е (р)
(напомним, что в основном состоянии системы р = 0); таким значениям
отвечают изолированные полюсы функции Грина.
Если же импульс р складывается из импульсов нескольки.х квазичастиц, то
энергия системы уже не определяется однозначно значением р: заданный
импульс системы может складываться различным образом из импульсов
квазичастиц, сумма энергий которых пробегает при этом непрерывный ряд
значений; интегрирование по всем таким состояниям устраняет полюс.
Таким образом, уравнением
G"1 (в-|х, р) = 0 (8,16)
определяется закон дисперсии квазичастиц (В. Л. Бонч-Бруевич, 1955).
54
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О [гл. II
Подчеркнем, что способ определения энергии возбуждения, согласно (8,9),
как раз соответствует определению энергии квазичастиц в теории Ландау.
Действительно, разность есть изменение энергии системы при добавлении к
ней одной часг тицы; приписав все это изменение одной квазичастице, мы
определяем е в соответствии с (1,3). Аналогичным образом,
- е'7' есть изменение энергии при удалении одной частицы, так что
е(п> есть энергия удаленной квазичастицы. Естественно поэтому,.что так
как в теории Ландау квазичастица
может быть удалена только изнутри ферми-сферы х).
Поскольку все фигурирующие в разложении (8,7) возбужденные состояния
получаются из основного состояния добавлением или удалением одной частицы
(со спином 1/2), то ясно, что для системы фермионов полюсы функции Грина
определяют лишь спектр элементарных возбуждений фермиевского типа. Как
определяется бозевская ветвь, будет показано ниже, в § 18.
Описание спектра макроскопической системы с помощью понятия о
квазичастицах с определенной зависимостью е от р - приближенное описание,
точность которого падает с увеличением |е-ц|. Отклонение от картины
независимых квазичастиц проявляется в сдвиге полюса функции Грина в
комплексную область: энергия е(р) становится комплексной. Согласно общим
правилам квантовой механики (см. III § 134), комплексность уровней
энергии означает конечность времени жизни % возбужденного состояния
системы (т~1/| Ime |). Сама же величина 1ш е характеризует степень
"размазанности" значений энергии квазичастицы (ширина уровня).
Разумеется, такая трактовка имеет смысл лишь при условии достаточной
малости мйимой части: |1те|<^|е - (х |. Как было объяснено в § 1, это
условие действительно выполняется для слабо возбужденных состояний
системы, поскольку 11те|~1/тс\э (р-рР)г, в то время как Re(e-ц) оо \р-
рр\.
Необходимый знак Ime обеспечивается определенностью знака мнимой части
функции Грина. Действительно, вблизи своего полюса эта функция имеет вид
С (и, P)"^-Z^,-. (8,17)
причем постоянная Z > О, как это следует из положительности коэффициентов
Ат, Вт в разложении (8,7); величину Z часто называют (по аналогии с
квантовой электродинамикой)
*) Обратим внимание на то, что в определение энергии квазичастиц
возбужденный уровень системы Ет входит со знаком минус. С этим связан и
тот факт, что импульс этих квазичастиц р= -Рт, как это видно из й-функ-
ции 6(р + Рт) в соответствующих членах разложения (8,7).
§ 9] ФУНКЦИЯ ГРИНА ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ-ГАЗА 55
перенормировочной постоянной. Мнимая- часть функции Грина
Z Im 8
Im G',
[ш + ц-е|
Заметив, что это выражение относится к значениям олге - ц и сравнив его
знак с правилом (8,14), найдем, что
Im е < 0 при Re е >11, ,0,04
Ime>0 при Ree<ji, ' ' '
как и должно быть: такой знак Ime в обоих случаях (ejj0 и е^
в (8,9)) соответствует правильной отрицательной мнимой до-
бавке к энергии возбужденного состояния Ет.
К аналитическим свойствам гриновской функции мы вернемся еще в § 36, где
этот вопрос будет рассмотрен сразу для общего случая произвольных
температур.
§ 9. Функция Грина идеального ферми-газа
Для иллюстрации рассмотренных в предыдущем параграфе общих соотношений
вычислим функцию Грина идеального газа.
Шредингеровские гр-операторы всегда можно представить в виде разложения
гр (г) = 2ара^ра(г) (9,1)
а
по полному набору функций грра-волновых функций свободной.частицы с
импульсом р (и энергией p2j2m), т. е. по плоским волнам
