Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис- !• Распределение N (р) выражается че-
рез функцию Грина интегралом (7,23). Ввиду конечности функции g(o), р)
заранее очевидно, что разность интегралов от нее будет стремиться при q-
>-0 к нулю. Поэтому достаточно рассмотреть лишь разность интегралов от
полюсных членов в (10,2). Поскольку при интегрировании член ?0 в
знаменателе существен только вблизи полюса, можно (как уже было указано в
§ 9) писать sign (р-pF) вместо sign со. Тогда имеем
- оо
(ввиду сходимости этого интеграла от разности, множитель е~ш с t = - 0 в
нем можно опустить). Замыкая теперь путь интегрирования бесконечно
удаленной полуокружностью (все равно в которой из полуплоскостей),
найдем, что весь интеграл равен Z и не зависит от q. Таким образом, имеем
N(pF-0)~N(pF+0) = Z (10,3)
(А. Б. Мигдал, 1957).
Выше было указано, что Z> 0. Поскольку JV(p)^l, то из (10,3) следует, что
0<Z<1 (10,4)
(причем значение Z == 1 достигается лишь в предельном случае идеального
газа).
§ И]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
59
Таким образом, распределение частиц по импульсам в ферми-жидкости при Т =
0 имеет, как и в газе, скачок на поверхности ферми-сферы, уменьшаясь в
направлении изнутри сферы наружу. В отличие от случая газа, величина
скачка, однако, меньше единицы, и функция N (р) остается отличной от нуля
также и при р > рР, как это показано на рис. 1 сплошной кривой
(пунктирная линия отвечает газу).
§11. Вычисление термодинамических величин по функции Грина
Знание гриновской функции системы достаточно для описания ее
термодинамических свойств. При Т - 0 эти свойства выражаются зависимостью
энергии системы (совпадающей с энергией основного состояния Ев) от
плотности N/V.
После того как определен (решением уравнения (8,16)) закон дисперсии
квазичастиц г(р), эту зависимость можно найти, воспользовавшись тем, что
e(Pf) = H- (П.1)
Поскольку зависимость рР от N/V известна, согласно (1,1),
PP=(3n2)1/3(N/V)1/3, (11,2)
равенство (11,1) определяет функцию fx(N/V) (хотя и в неявном виде, так
как и закон дисперсии е(р) содержит, вообще говоря, ц, как параметр).
При Г -0 (а потому и S = 0) химический потенциал (л -
(dE0/dN)v\ интегрируя это равенство, найдем искомую
энергию
N
E0 = ^^)dN (11,3)
о
(при N- 0, разумеется, и Е0 - 0).
Другой способ описания термодинамических свойств при Г = 0 состоит в
вычислении термодинамического потенциала Q. Согласно общему определению
(см. V § 24), этот потенциал й = Е - TS-(лЛг = -PV и его дифференциал dQ=
-SdT-Nd[i; при Т - 0 имеем также и S = 0, и эти выражения сводятся к
Q = E-[iN, (11,4)
dQ = - Ndii. (11,5)
Напомним также, что по смыслу потенциала он описывает свойства системы
при V - const.
Простейший способ выразить через функцию Грина состоит в использовании
связи (7,24) N/Vс G. Подставив N из (7,24) в (11,5)
60 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ 7 = 0 [гл. II
и интегрируя по d^i (при V = const), получим
Q((i) = 2/v|dii^Iimo J G (со, р) е~ш , (11,6)
поскольку, опять-таки, Q = 0 при fi = 0.
§ 12. ^-операторы в представлении взаимодействия
Гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц нельзя, разумеется,
вычислить в общем виде. Существует, однако, математическая техника
(подобная диаграммной технике квантовой теории поля), позволяющая
вычислять ее в виде ряда по степеням энергии взаимодействия частиц. При
этом каждый член ряда выражается через функции Грина системы свободных
частиц и оператор взаимодействия.
Введем, наряду с гейзенберговским, еще и другое представление операторов
- представление, в котором их зависимость от времени определяется не
истинным гамильтонианом системы
Я' = Я' <0) + V = Я<0) - (гЛА + V
(1/-оператор взаимодействия), а гамильтонианом свободных частиц Я'(0):
?0 (t, г) = ехр (iH'(0) t) (г) exp (- iH'(0) t). (12,1)
Операторы и волновые функции в этом представлений (так называемое
представление взаимодействия) будем отличать индексом 0. Выразив функцию
Грина через операторы (вместо гейзенберговских Чг), мы тем самым сделаем
первый шаг к достижению поставленной цели - выражению G через G(0) и V.
Обозначим в этом параграфе буквой Ф (или ф) волновые функции в
"пространстве чисел заполнения" (в отличие от координатных волновых
функций ? или т|)); на эти функции действуют Вторично-квантованные
операторы. Пусть ф - такая функция в шредингеровском представлении; ее
зависимость от времени определяется волновым уравнением
= '<*>+?) Ф. (12,2)
В гейзенберговском представлении, где вся временная зависимость
перенесена на операторы, волновая функция системы Ф вообще не зависит от
времени: Ф = const. В представлении же взаимодействия волновая функция Ф0
зависит"от времени, но эта зависимость связана только со взаимодействием
частиц
§12] ^-ОПЕРАТОРЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 61
в системе и определяется уравнением
i^O0(t) = V0(t)O0(t), (12,3)
где
V0 = exp (iH' <°> i) V exp (- iH'w t) (12,4)
- оператор взаимодействия в том же представлении (в операторах вида
(7,6-7) переход к этому представлению сводится просто к замене ? на ?0).
