Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния - Лифшиц Е.М.
Скачать (прямая ссылка):
первого порядка по а:
?(1>=f (6>п) pip*
и для поправки второго порядка:
р<а) _ 2mg2 V я1 + п2_[(1- п[ + ) (1- "г-) - l]
с v2 2-i ------rr"i-г*-л---------
р.р.р; л+р^-pi -р*
(для краткости вводим в промежуточных формулах "константу связи" частиц
газа1) g = in%2a/tn). Раскрывая выражение в числителе, замечаем, что
члены с произведениями четырех п взаимно сокращаются, поскольку их
числители симметричны, а знаменатели антисимметричны по
отношению к перестановке р1( р2
и Р^. Рг! суммирование же по этим переменным производится симметричным
образом. Таким образом, окончательно имеем
ggg v п';п\{п[++пк}. - (6,12)
п~~' Pl+Pi-Pl -Pi
PlPiPl
Эта сумма (в которой все пра-<-0 при р-<-оо) уже сходится.
С помощью полученных формул можно прежде всего вычислить энергию
основного состояния. Для этого надо положить все nPa равными единице
внутри ферми-сферы (/?</?f = = ^(Зя^У/У)1/3) и равными нулю вне ее.
Заметим в этой связи, что хотя в исходном гамильтониане собственные
значения
i) После перенормировки амплитуды рассеяния эта величина уже отнюдь не
совпадает с постоянной UQ, фигурирующей в (6,2)1
40 НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ [ГЛ. 1
операторных произведений араара дают числа заполнения состояний самих
частиц газа, но после диагонализации гамильтониана с помощью теории
возмущений мы уже имеем дело с функцией распределения квазичастиц
(обозначенной нами, как и в предыдущих параграфах, через пра).
Замечая, что 2яр+ = 2пр- = А^/2, получим из (6,11) поправку первого
порядка
E?=gN*/4V.
В формуле (6,12) заменяем суммирование по трем импульсам с учетом условия
Pi + p2 = pI + P2 интегрированием по
S (рх -f р2-Pi-Pz) d3Pi &р2 d*p{ d3p'2,
так что
s Г6 lp' #p> *p. "v, "'f"
(znП) j Pi_^P2_Pi _p2
причем интегрирование происходит по области ри р2, p[^.pF. Вычисление
интеграла1) приводит к следующему окончательному результату для энергии
основного состояния:
0 10 т
1 I 10 PFa I 4(11-2 In 2) fpFa у 9л % 21я2 V % )
(6,13)
где величина, стоящая перед скобками,-энергия идеального ферми-газа {К-
Huang, С. N. Yang, 1957).
Химический потенциал газа при абсолютном нуле определяется как
производная [i = (dEjdN)v\ выраженный через предельный импульс рР, он
имеет вид
Pf_ fi | 4 рра , 4(11-2 In 2) ( Рра V
^ |_ Зя % 15л2 V % )
(6,14)
Согласно общим положениям теории Ландау, спектр элементарных возбуждений
е(р) и функция взаимодействия квазичастиц faa' (р, р') определяются
первой и второй вариациями полной энергии по функции распределения
квазичастиц2). Если писать Е в виде дискретной суммы по р и а, то имеем,
по определению,
^ еа (р) Ьпра + ~ ? /аа'(р, Р')б"раб"р'а' (6,15)
ра ра, р'а'
*) Фактически проще производить вычисления в другом порядке, начав с
вычисления функции f (см. ниже).
2) Матрица faa> (р, р') в этом параграфе-совокупность диагональных по
двум парам индексов (а, р и у, 6) компонент матрицы / рв (р, р').
ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
41
(причем после дифференцирования энергии надо заменить пра единицей внутри
и нулем вне ферми-сферы): В вычислении таким путем эффективной массы
квазичастиц т*, однако, нет необходимости, поскольку она может быть
найдена и более простым способом (см. ниже).
Для вычисления же функции /w(p, р') (на ферми-поверх-ности),
дифференцируем дважды сумму выражений (6,11-12), после чего надо
положить р = р' = рР. Произведя это простое
вычисление и перейдя от суммирования к интегрированию, по-
лучим
г (р р') = я_____jggl па (Р+Р1-Р1-Р") ,
/+ IP. g J ^ 2PF-I
2 2 • Pi - Р2
>(P + Pi -P'-Ps) + S(P' + Pi -Р-Ра))
H^I) / Pi'
/++ (P, p')=/- (P, P') =
2 mgz
(2 nhy
Г Й(Р + Р1-P -Pa) + 6(P -|~Pi-P -Рг)^.ч" j3n J Pi - Pz
Интегрирование в этих формулах сравнительно просто ввиду меньшей
кратности интегралов.
Окончательный результат должен быть представлен в виде
(2,4), не зависящем от выбора оси квантования спинов.
В таком виде он дается формулой
f "V.
2 nah"
2арр(
1 , ¦ ^ V
" 1 -+ sm \
cos гг , 2 '
'1п
2 sin
2 apf-nti2
1 . ft , -Tsm_ln
(6,16)
где Ф-угол между векторами pF и р^ (А. А. Абрикосов, И, М. Халатников,
1957) *).
Эффективная масса квазичастиц получается отсюда интегрированием по
формуле (2,12) и равна
m*___j
т
15я2
(7 In 2-
чту-
(6,17)
х) Функция (6,16) обращается логарифмически в бесконечность при ft = n.
Это обстоятельство твячано со сделанными пренебрежениями. Более точное
исследование показывает, что хотя значение ft = n действительно является
особой точкой функции, но последняя обращается в ней не в бесконечность,
а в нуль (см. примечание на стр. 263). Неприменимость формулы (6,16)
вблизи 0 = я несущественна для дальнейших приложений, в которых
фигурируют интегралы, сходящиеся в этой точке.
42
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
[ГЛ. 1
Формула же (2,17) позволяет найти скорость звука в газе:
ц"= PF \ 1 ] 1 °Рр ,.8(Ч-21п2) /аруу] .. ш
Ы 1 + я % + 15я2 I А Л ' ( }
Интегрируя затем величину u2m/N (выраженную через N/V вместо рР) по dN,
мы найдем, согласно (2,13), химический потенциал газа, а еще одно
