Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
(iii) Это утверждение сразу вытекает из (ii).
(iv) Это утверждение следует из (i) и леммы 2.13.
(v) Первая часть утверждения вытекает из (i) и теоремы
2.14, а вторая - из (iii).
(vi) Так как а ? F*dl a FJ</ - подгруппа группы Т*т, то
утверждение вытекает из теоремы 3.3.
(vii) Если g - примитивный элемент над Fg, то ord (g) =
^ qd - 1, так что порядок элемента а в группе равен qd - 1
7
в силу (vi). Обратно, если а - элемент порядка qd - 1 в группе F*m, а
значит, и в FJd, то а - примитивный элемент поля F^,
а следовательно, g - примитивный многочлен над Fq согласно
определению 3.15. ?
§ 3. Построение неприводимых многочленов
Сначала мы опишем общий принцип получения новых неприводимых многочленов
на основе известных. Этот метод опирается на один вспомогательный
теоретико-числовой результат. Напомним, что если п - натуральное число и
Ь - целое взаимно простое с п число, то наименьшее натуральное число k,
такое, что
bk нз 1 (mod ft),
называется показателем, которому принадлежит число b по модулю ft.
Заметим, что этот показатель делит любое другое натуральное число /г,
такое, что bh = 1 (mod ft).
3.34. Лемма. Пусть 2 " 2 - взаимно простые целые
числа, и пусть т - показатель, которому принадлежит число $
128 Гл. 3. Многочлены над конечными нолями
I I'll I МнмГицЦ • | • ^".t.'rT^i^nnrr I---^ . |7'^|"*11 • • • цу""ьь щ
• ~|~| il ~ • ~iT • I ~ГГ ~*f h'iH4 ГI I-"-1К-ОК-^АК* рлтад ¦
по модулю е. Пусть, далее, t i> 2 - целое число, простые делители 1
которого делят е, но не делят (srn - 1 )/е. Пусть, наконец, sm з ¦ it 1
(mod 4), когда t кратно четырем. Тогда показатель, которому \
принадлежит число s по модулю et, равен mi. ' j
i
v : •
Доказательство. Применим индукцию по числу простых дели* J те л ей числа
t, считая каждый делитель с его кратностью. Сначала..? пусть t будет
простым числом. Полагая d - (sm - \)!е, пол у ч им. 1 &т 1 4- de. так что
Л,
•I
ss?
1
I
у.
¦s
'%
¦?
I
I
¦f
• * a
4* ¦ <*
i
Й
Vf*.
>S
\
$
4
= 1 - C ) * + ( 2 )dV+ d'~ie,~* + d'e'.
Щ
В последнем выражении каждый член, кроме первого и послед- | него,
делится па et в силу свойства биномиальных коэффициентов, указанного в
доказательстве теоремы 1.46, Но и последний член тоже делится па et, так
как i делит е. Поэтому smi :л 1 (mod et), и, значит, показатель /д
которому принадлежит число я по мо" дулю et, делит mi., По определению
показателя k sk ~ 1 (mod et), так что sk 'в: 1 (mod е), а отсюда по
определению числа т полу* чаем, что Л делится на т.. Поскольку t -
простое число, делящее#,, то число k может быть равно лишь гп или mi.
Если k - т, то sP1 1 (mod et), откуда sm - 1. -- de гг 6 (mod ei), и,
следовательно, i должно делить d, что невозможно. Значит, остается
единственная возможность k mi.
Теперь предположим, что число t имеет по крайней мере два простых
делителя, и запишем i ~ rtn, где г - простой делитель числа i. По
доказанному выше показатель, которому принадлежит число s по модулю ег,
равен тг. Если мы докажем, что каждый' простой делитель числа 4 делит ег,
по не делит dn ~ (smr - \)!er, то из предположения индукции, примененного
к 4> получим, что показатель, которому принадлежит число s по модулю ert0
= ei* равен mrto mi. Пусть г0 - простой делитель числа t0. Поскольку
каждый простой делитель числа t делит е, то, очевидно,; гй делит ег.
Снова запишем d - ($т - \)1е. Имеем Упг - 1 ^
= с (srn - I), где с - $т и-о -ф ... -у sm + 1, так что d0 -¦ с (s°*
\)!ег cdJr, Далее, так как $т ~ 1 (mod. е) и г делнт е, то
вт - 1 (mod г), так что г ¦¦¦- ? Рп(ч. О (mod г). Таким образом,
1=4)
cir - целое число. Поскольку число г0 не делнт d, то, чтобы дока* зать,
что г(] не делит d0 = edit, достаточно показать, что гп не делит cir.
Заметим, что sm лз 1 (mod rQ), так что с = г (mod г")• Если г0 Ф г, то
с!г = 1 (mod г0), и, значит, г0 не делит cir. Теперь пусть rQ ~ г. Тогда
s'" = 1 4- br (mod г%) для некоторого b (z Z*..
§ 3. Построение неприводимых многочленов
127
откуда smг = (1 + ЬгУ ~ 1 -f jbr (mod г3) для всех j > О, и, таким
образом,
г-I
с ~ г -1 hr V / = г + Ьг Г^г ^ (mod г2).
У=о
Это значит, что
-~ = 1 b г(г~1) (mod г).
Если г нечетно, то dr = 1 (mod а), так что гп = г не делит dr. Остается
рассмотреть лишь случай г0 - г - 2. Тогда / кратно четырем, и, значит,
sP1 = ! (mod 4) по предположению. Так как в этом случае с = sm + !, то мы
получаем с = 2 (mod 4), а следовательно, cir ~ с!2 - \ (mod 2). Это вновь
означает, что гй не делит с/г. ?
3.35, Теорема. Пусть /х (х), ..., /4 (х)- все различные нормированные
неприводимые многочлены из f q Iдс ] степени т и порядка с, и пусть 2 -
некоторое целое число, простые делители которого делят с, яо яс делят (qm
- \)!е. Пусть, наконец, qm = з 1 (mod 4), селя / кратно четырем. Тогда
fi(xi), •-•*/^(jcO представляют собой все различные нормированные
неприводимые многочлены из Fy [х] степени mt и порядка et.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что е^2. В соответствии с
