Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
двух многочленов - это определитель
Rif. g) =
а0 ах "п 0 0
0 * а0 ..... 0^71 0 0 *
* 1 0 ... 0 ах ф * • ' * @71 1
^0 ьг ... Ьщ 0 0 •
0 Ьц bm ... 0
ь 4 *
0 bi " ¦ * • ьт 4
m строк
п строк
¦ш,
5 л!
• v
Щ
'¦>§?
¦ш
порядка т + п.
Если deg (f) = п (т. е. aQ Ф 0) и f (х) = а0 (х - аг) ... (х - осЛ) в
поле разложения многочлена f над К, то R (/, g) можно также! задать
формулой
Rif. g)
rt
off П g (a*).
i=l
В этом случае очевидно, что равенство R (/, g) - 0 выполняете тогда и
только тогда, когда многочлены fug имеют общий корень; (т. е. f и g имеют
общий делитель положительной степени в кольц
К U3).
Теорема 1.68 наводит на мысль, что между дискриминанто О (f) и
результантом R (/, ff) имеется связь. Пусть f ? К [х]
Комментарии
55
deg (/) = п>2 и старший коэффициент f равен сц,. Тогда и в самом деле
имеет место равенство
D (!) = (- (J, /'). (i-11)
где производная f' рассматривается как многочлен формальной степени п -
1. Последнее замечание требуется потому, что в случае поля К простой
характеристики может оказаться, что deg(/') < < п - 1 и даже что /' - 0.
Но в любом случае равенство (1.11) выполняется, так что дискриминант D
(f) можно найти, вычислив определитель порядка 2п - 1с элементами из поля
К.
Комментарии
§ 1. Определения и теоремы этой главы можно найтн почти в каждой из
вводных кннг по современной алгебре. Упомянем некоторые из них: Birkhoff,
MacLane [1 3, Fraleigh [13, Herstein
14], Kochendorffer [ll, Lang [4 3, Redei [10 3, van der Waerden [2 3 (а
также Калужнин [1*3, Кострикин [1*3, Курош [1*3, Минина, Проскуряков
[1*3, Скорняков [1*3, Сушкевич [1*3, Фаддеев [1* 3. - Перев.)
Существуют и другие эквивалентные определения группы. Например, группу
можно определить как непустое множество G с ассоциативной бинарной
операцией, такой, что для любых д, Ь С О уравнения ах Ь и уа = b имеют
решения в G. Важной иллюстрацией понятия группы может служить (наряду с
приведенными выше примерами) группа матриц, т. е. множество матриц с
элементами из некоторого поля, образующее группу относительно операции
умножения матриц. Такие группы встретятся нам в гл. 8. Другие важные
примеры можно найти в упомянутых руководствах (а также в книгах Hall [6
3, Кдргаполов, Мерзляков П* 3, Курош [2* 3, Шмидт [1* 3. - Перев.)
Латинским квадратом называется квадратная таблица, в каждой строке и в
каждом столбце которой ровно один раз встречается каждый элемент
некоторого множества. Таким образом, таблица Кэли любой конечной группы
является латинским квадратом. Однако не каждый латинский квадрат можно
рассматривать как таблицу Кэли некоторой группы, так как не обязательно
выполнен закон ассоциативности. Подробнее о латинских квадратах см. в § 4
гл. 9, а также в книге Denes, Keedwell [13.
По поводу циклических групп можно легко доказать, что любая бесконечная
циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z целых чисел и любая
циклическая группа порядка п изоморфна аддитивной группе 2П вычетов по
модулю п.
9 "Звездочкой" помечены работы, добавленные при переводе. - Прим. ред.
56
Гл. 1. Алгебраические основы
Стоит упомянуть определения некоторых алгебраических си-J стем, которые
даже проще, чем группы, так как для них выпол-i няется лишь часть аксиом
группы. Так, множество с бинарной ! операцией называется группоидом; если
же дополнительно пред-.1 полагается ассоциативность операции, то это
полугруппа. Полу-1 группа с единичным элементом называется моноидом.
I
§ 2. Существуют разные определения кольца. Например, не-1 которые авторы
опускают ассоциативность умножения, а струк-j туру, введенную
определением 1.28, называют ассоциативнымЩ кольцом. В определении
целостного кольца иногда опускается 1 требование существования
мультипликативной единицы. 1
Первое абстрактное определение поля было дано Вебером! (Weber [3 3).
Конечные простые поля рр, где р - простое число,! были широко изучены еще
Гауссом (Gauss [3 3) в связи со сравне-1 ниями в кольце / целых чисел по
простому модулю. 1
Характеристика поля совпадает с характеристикой его про-| стого подполя.
Существуют поля простой характеристики, не яв-1 ляющиеся конечными.
Примером может служить подходящее рас-1 ширение поля FP, скажем, поле
рациональных функций над или алгебраическое замыкание поля Рр (ср. с
комментариями!
Многие свойства целых чисел можно перенести на соответ-i ствующие главные
идеалы в кольце Z. Это обусловлено тем фак*:| том, что целое число а
делит целое число Ь в том и только тоМЯ случае, если главный идеал (а)
содержит главный идеал (&)*-| Особый интерес представляют простые числа.
Согласно обычному! определению, простым называется целое число >1,
KoTopofg не имеет нетривиальных делителей. Можно дать другое равно?!
сильное определение, назвав простым такое целое число >1^1 которое делит
произведение целых чисел лишь тогда, когда оно! делнт один из
сомножителей. Перефразируя для идеалов э?щ характеризации простого числа,
